カジュダン–ルスティック多項式 シューベルト多様体の交叉コホモロジーとの関連

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カジュダン–ルスティック多項式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/11/21 03:00 UTC 版)

シューベルト多様体の交叉コホモロジーとの関連

G をワイル群 W をもつ代数群とし、B をそのボレル部分群とする。ブリュア分解によると、商空間 G/B は W の元 w でパラメトライズされたアフィン空間 X_w に分割される。X_w の閉包をシューベルト多様体と呼ぶ。ドリーニュの示唆のもとカジュダン・ルスティックは、カジュダン・ルスティック多項式がシューベルト多様体の交叉コホモロジー群を用いてどのように記述されるかを示した。

より正確に述べると、カジュダン・ルスティック多項式 P_{y, w}(q) は

$P_{y,w}(q)=\sum _{i}q^{i}\dim IH_{X_{y}}^{2i}({\overline {X_{w}}})$

と表される。右辺の意味は次の通りである。まず w に対応するシューベルト多様体 ${\overline {X_{w}}}$ の交叉コホモロジーを超コホモロジーに持つような層の複体 IC を取る。この複体の 2i 次のコホモロジー層を取り、X_y の任意の点における茎 $IH_{X_{y}}^{2i}({\overline {X_{w}}})$ を取る。それらの次元を qⁱ 倍したものの和が右辺である。奇数次元のコホモロジー群は消えているので和の中には現れない。

これは有限ワイル群に対するカジュダン・ルスティック多項式のすべての係数が非負であることの最初の証明を与えるものであった。