アーベル圏

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/04/10 23:32 UTC 版)

加法圏

上述のようにアーベル圏の著しい性質として加法圏になる事が挙げられるので、本節ではアーベル圏を導入する準備として、加法圏の定義とその性質を述べる。

定義

加法圏は以下のように定義される：

定義 ― 圏 ${\mathcal {C}}$ が前加法圏（英: preadditive category、英: Ab-category）であるとは、 ${\mathcal {C}}$ の任意の対象 $A$ 、 $B$ に対し、 $\mathrm {Hom} (A,B)$ には2項演算子「 $+$ 」が定義されており、「 $+$ 」に関して $\mathrm {Hom} (A,B)$ はアーベル群になり、さらに任意の射 $f,~f'~:~A\to B$ 、 $g,~g'~:~B\to C$ に対し、射の結合は下記の双線型性を満たす事を言う^[6]：

g\circ (f+f')=g\circ f+g\circ f'

(g+g')\circ f=g\circ f+g'\circ f

定義 ― 前加法圏 ${\mathcal {C}}$ が加法圏（英語版）（英: additive category）であるとは、以下を満たす事を言う^[7]^[8]^[9]^[10]^[11]^{[注 2]}：

${\mathcal {C}}$ は零対象を持つ
${\mathcal {C}}$ の任意の対象 $A$ 、 $B$ に対し、 $A$ と $B$ の積が常に存在する。

特徴づけ

加法圏の1番目の条件は以下のようにも言い換えられる：

定理 ― ${\mathcal {C}}$ を前加法圏とし、 $Z$ を ${\mathcal {C}}$ の対象とするとき、以下の4条件は同値である^[12]。

$Z$ は始対象である。
$Z$ は終対象である。
$\mathrm {Hom} (A,B)$ のアーベル群としての単位元を $0_{AB}~:~A\to B$ と表すと、 $0_{ZZ}=\mathrm {id} _{Z}$
$\mathrm {Hom} (Z,Z)$ は単位元のみからなる群である。

加法圏の２番目の条件は以下のようにも言い換えられる：

定理 ― ${\mathcal {C}}$ を零対象 $Z$ が存在する前加法圏とするとき、以下は同値である^[13]。

${\mathcal {C}}$ の任意の対象 $A$ 、 $B$ に対し、 $A$ と $B$ の積が常に存在する。
${\mathcal {C}}$ の任意の対象 $A$ 、 $B$ に対し、 $A$ と $B$ の余積が常に存在する。
${\mathcal {C}}$ の任意の対象 $A$ 、 $B$ に対し、 $A$ と $B$ の複積（英語版）（後述）が常に存在する。

ここで複積とは以下のように定義される概念である：

定義 ― $A$ 、 $B$ を前加法圏 ${\mathcal {C}}$ の対象とするとき、

A{\underset {\iota _{A}}{\overset {p_{A}}{\leftrightarrows }}}A\oplus B{\underset {\iota _{B}}{\overset {p_{B}}{\rightleftarrows }}}B

が $A$ と $B$ の複積（英: biproduct）であるとは、以下を満たす事を言う^[13]：

$p_{A}\circ \iota _{A}=\mathrm {id} _{A}$
$p_{B}\circ \iota _{B}=\mathrm {id} _{B}$
$\iota _{A}\circ p_{A}+\iota _{B}\circ p_{B}=\mathrm {id} _{A\oplus B}$

実は次が成立する：

定理 ― ${\mathcal {C}}$ を加法圏とし、 $A$ 、 $B$ を ${\mathcal {C}}$ 対象とするとき、 $A$ と $B$ の積、余積、複積は一致する^[13]。

注

出典

^ #MacLane p.205.
^ Grothendieck (1957)
^ ^a ^b David Eisenbud and Jerzy Weyman. “MEMORIAL TRIBUTE Remembering David Buchsbaum”. American Mathematical Society. 2023年12月22日閲覧。
^ “David Buchsbaum”. nLab. 2023年12月22日閲覧。
^ Buchsbaum (1955)
^ #MacLane p.28, 194.
^ #MacLane p.194.
^ #河田 p.177.
^ “additive category”. nLab. 2023年12月19日閲覧。
^ “additive category”. Encyclopedia of Mathematics. 2023年12月19日閲覧。
^ #Rotman p.303.
^ #MacLane p.194.
^ ^a ^b ^c #河田 p.178.
^ #河田 p,168,
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g #Rotman p. 308.
^ ^a ^b #Rotman p.309
^ ^a ^b #河田 pp.174-177.
^ ^a ^b ^c ^d “12.5 Abelian categories”. The Stacks project. Columbia University. 2024年1月9日閲覧。
^ #河田 p.180.
^ ^a ^b ^c ^d #河田 pp.193-194.
^ #河田 p.193
^ #河田 p.189
^ “12.13 Complexes”. The Stacks project. Columbia University. 2024年1月9日閲覧。
^ #Rotman p.349.
^ #玉木
^ #Mitchell p.151.
^ #Rotman p.315.
^ #Mitchell p.151.
^ #Rotman p. 307.
^ #Rotman p.319.
^ #Rotman pp. 309-311.
^ #Rotman p.310.

注釈

^ アーベルの名にちなむが、「abelian」の語頭は小文字を用いる。本項執筆者が確認した範囲では、#Rotman p.303、#Mitchell p.33. #MacLane p.198で小文字であった。
^ #河田のみ２番めの条件が「２つの対象の積」ではなく単に「積」になっているが、「２つの対象の積」の意味であると判断。実際その直後に２つの積が余積や複積と等しいことを示している。
^ $\mathrm {id} _{A}\times \mathrm {id} _{A}$ は対角射、 $\mathrm {id} _{A}\amalg \mathrm {id} _{A}$ は双対対角射である。
^ 本項では#Mitchellに基づいてステートメントを書いたが、#Rotman p.316.では本項の「 $R - Mod$ 」の部分がアーベル群の圏「 $Ab$ 」になっている。これは $R$ -加群をアーベル群と解釈できる事による。