x,y成分についての証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/12/02 20:00 UTC 版)
「円柱座標変換」の記事における「x,y成分についての証明」の解説
まず、式(5-3-3)を示す。 x -y 平面上の曲線c (t ) を、 c ( t ) = ( r 0 cos t r 0 sin t ) {\displaystyle c(t)=\left({\begin{matrix}{{r}_{0}}\cos t\\{{r}_{0}}\sin t\\\end{matrix}}\right)} (5-3-5) A ( x , y ) = ( a ( x , y ) b ( x , y ) ) = ( − X y ( x , y , z ) X x ( x , y , z ) ) {\displaystyle \mathbf {A} \left(x,y\right)=\left({\begin{matrix}a\left(x,y\right)\\b\left(x,y\right)\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}-{{X}_{y}}(x,y,z)\\{{X}_{x}}(x,y,z)\\\end{matrix}}\right)} (5-3-6) ∫ c A = ∫ x = − r 0 x = r 0 ∫ − r 0 2 − x 2 r 0 2 − x 2 ( ∂ b ∂ x − ∂ a ∂ y ) d x d y {\displaystyle \int _{c}^{}{A}=\int _{x=-{{r}_{0}}}^{x={{r}_{0}}}{\int _{-{\sqrt {{{r}_{0}}^{2}-{{x}^{2}}}}}^{\sqrt {{{r}_{0}}^{2}-{{x}^{2}}}}{\left({\frac {\partial b}{\partial x}}-{\frac {\partial a}{\partial y}}\right)dxdy}}} (5-3-7) が成立することは、既知とする。 このとき ∫ θ = 0 θ = 2 π r 0 X r ( r 0 , θ , ζ ) d θ = ∫ θ = 0 θ = 2 π ( ( X x ∘ Φ ) r 0 cos θ + ( X y ∘ Φ ) r 0 sin θ ) d θ = ∫ θ = 0 θ = 2 π ( X x ( r 0 cos θ , r 0 sin θ , ζ ) r 0 cos θ + X y ( r 0 cos θ , r 0 sin θ , ζ ) r 0 sin θ ) d θ = ∫ t = 0 t = 2 π ( − X y ( r 0 cos t , r 0 sin t , ζ ) X x ( r 0 cos t , r 0 sin t , ζ ) ) ⋅ ( − r 0 sin t r 0 cos t ) d t = ∫ t = 0 t = 2 π ( a ∘ c ( t ) b ∘ c ( t ) ) ⋅ ( d c d t ) d t = ∫ x = − r 0 x = r 0 ∫ y = − r 0 2 − x 2 y = r 0 2 − x 2 ( ∂ b ∂ x − ∂ a ∂ y ) d y d x = ∫ x = − r 0 x = r 0 ∫ y = − r 0 2 − x 2 y = r 0 2 − x 2 ( ∂ X x ( x , y , z ) ∂ x + ∂ X y ( x , y , z ) ∂ y ) d y d x {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }{r_{0}X_{r}(r_{0},\theta ,\zeta )}\ d\theta &=\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\left((X_{x}\circ \Phi )r_{0}\cos \theta +(X_{y}\circ \Phi )r_{0}\sin \theta \right)}\ d\theta \\&=\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\left(X_{x}(r_{0}\cos \theta ,r_{0}\sin \theta ,\zeta )r_{0}\cos \theta +X_{y}(r_{0}\cos \theta ,r_{0}\sin \theta ,\zeta )r_{0}\sin \theta \right)}\ d\theta \\&=\int _{t=0}^{t=2\pi }{\left({\begin{matrix}-X_{y}(r_{0}\cos t,r_{0}\sin t,\zeta )\\X_{x}(r_{0}\cos t,r_{0}\sin t,\zeta )\\\end{matrix}}\right)}\ \cdot \left({\begin{matrix}-r_{0}\sin t\\r_{0}\cos t\\\end{matrix}}\right)dt\\&=\int _{t=0}^{t=2\pi }{\left({\begin{matrix}a\circ c(t)\\b\circ c(t)\\\end{matrix}}\right)}\ \cdot \left({\frac {dc}{dt}}\right)dt\\&=\int _{x=-{{r}_{0}}}^{x={{r}_{0}}}{\int _{y=-{\sqrt {{{r}_{0}}^{2}-{{x}^{2}}}}}^{y={\sqrt {{{r}_{0}}^{2}-{{x}^{2}}}}}{\left({\frac {\partial b}{\partial x}}-{\frac {\partial a}{\partial y}}\right)dydx}}\\&=\int _{x=-{{r}_{0}}}^{x={{r}_{0}}}{\int _{y=-{\sqrt {{{r}_{0}}^{2}-{{x}^{2}}}}}^{y={\sqrt {{{r}_{0}}^{2}-{{x}^{2}}}}}{\left({\frac {\partial {{X}_{x}}(x,y,z)}{\partial x}}+{\frac {\partial {{X}_{y}}(x,y,z)}{\partial y}}\right)dydx}}\end{aligned}}} (5-3-8) ∫ ζ = 0 ζ = ζ 0 ∫ θ = 0 θ = 2 π X r ( r 0 , θ , ζ ) d θ d ζ = ∫ z = 0 z = ζ 0 ∫ θ = 0 θ = 2 π X r ( r 0 , θ , z ) d θ d z {\displaystyle \int _{\zeta =0}^{\zeta ={{\zeta }_{0}}}{\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }{{{X}_{r}}({{r}_{0}},\theta ,\zeta )}}\ d\theta d\zeta =\int _{z=0}^{z={{\zeta }_{0}}}{\int _{\theta =0}^{\theta =2\pi }{{{X}_{r}}({{r}_{0}},\theta ,z)}}\ d\theta dz} ∫ z = 0 z = ζ 0 ∫ x = − r x = r ∫ y = − r 2 − x 2 y = r 2 − x 2 ( ∂ X x ( x , y , z ) ∂ x + ∂ X y ( x , y , z ) ∂ y ) d y d x d z {\displaystyle \int _{z=0}^{z={{\zeta }_{0}}}{\int _{x=-r}^{x=r}{\int _{y=-{\sqrt {{{r}^{2}}-{{x}^{2}}}}}^{y={\sqrt {{{r}^{2}}-{{x}^{2}}}}}{\left({\frac {\partial {{X}_{x}}(x,y,z)}{\partial x}}+{\frac {\partial {{X}_{y}}(x,y,z)}{\partial y}}\right)dydx}}}dz} (5-3-9)
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