x-y-z空間における偏微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/12/02 20:00 UTC 版)
「円柱座標変換」の記事における「x-y-z空間における偏微分」の解説
f を、x -y -z 空間で定義されたスカラー値関数とする。このとき、r ≠ 0 をみたす任意の (r , θ, ζ) に対して以下の(6-1-1)～(6-1-3)の等式が成立する： ( ∂ f ∂ x ) ( Φ ( r , θ , ζ ) ) = cos θ ( ( ∂ ( f ∘ Φ ) ∂ r ) ( r , θ , z ) ) − sin θ r ( ( ∂ ( f ∘ Φ ) ∂ θ ) ( r , θ , z ) ) {\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)(\Phi (r,\theta ,\zeta ))=\cos \theta \left(\left({\frac {\partial (f\circ \Phi )}{\partial r}}\right)(r,\theta ,z)\right)-{\frac {\sin \theta }{r}}\left(\left({\frac {\partial (f\circ \Phi )}{\partial \theta }}\right)(r,\theta ,z)\right)} (6-1-1) ( ∂ f ∂ y ) ( Φ ( r , θ , ζ ) ) = sin θ ( ( ∂ ( f ∘ Φ ) ∂ r ) ( r , θ , z ) ) + cos θ r ( ( ∂ ( f ∘ Φ ) ∂ θ ) ( r , θ , z ) ) {\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)(\Phi (r,\theta ,\zeta ))=\sin \theta \left(\left({\frac {\partial (f\circ \Phi )}{\partial r}}\right)(r,\theta ,z)\right)+{\frac {\cos \theta }{r}}\left(\left({\frac {\partial (f\circ \Phi )}{\partial \theta }}\right)(r,\theta ,z)\right)} (6-1-2) ( ∂ f ∂ z ) ( Φ ( r , θ , z ) ) = ( ∂ ( f ∘ Φ ) ∂ ζ ) ( r , θ , z ) {\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial z}}\right)(\Phi (r,\theta ,z))=\left({\frac {\partial (f\circ \Phi )}{\partial \zeta }}\right)(r,\theta ,z)} (6-1-3) { ( ∂ f ∂ x ) = cos θ ( ∂ f ∂ r ) − sin θ r ( ∂ f ∂ θ ) ( ∂ f ∂ y ) = sin θ ( ∂ f ∂ r ) + cos θ r ( ∂ f ∂ θ ) ( ∂ f ∂ z ) = ( ∂ f ∂ ζ ) {\displaystyle \left\{{\begin{array}{*{35}{l}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)=\cos \theta \left({\frac {\partial f}{\partial r}}\right)-{\frac {\sin \theta }{r}}\left({\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)\\\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)=\sin \theta \left({\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {\cos \theta }{r}}\left({\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)\\\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\right)=\left({\frac {\partial f}{\partial \zeta }}\right)\\\end{array}}\right.} (6-1-4)
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