clubフィルター
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/09/13 06:19 UTC 版)
を共終数 の極限順序数とする。ある に対して、列 が のclub集合の列であったとする。このとき、 もclubである。これを見るために、閉集合たちの共通部分は閉集合であるのは簡単なので、この集合が非有界であることを確かめる。 を任意にとる。ある に対して が存在するとき、 から となるように、 をとる。これは各 が非有界だから可能。そして、これらによる集合は順序数 未満の長さであり、この集合の上限は 未満である。そこで、これを と定める。この方法により、可算列 を得る。 この列の極限は の極限でもある。そして各 は閉で が非可算なので、この極限は各 の元であるべきで、これは より真に大きい の元である。これで が非有界であることが示された。このことから、 が正則基数であるとき は非自明な 上の -完備フィルターである。これをclubフィルターといい、 と表す。clubフィルターは対角線共通部分 (diagonal intersection) について閉じている。 これがフィルターであることを見る。 まず、 である( 自身は のclub集合である)。 ならば、 を部分集合としてもつ の部分集合はやはり の元である。 -完備であることは上で証明してあった。よって、これでフィルター性は確認された。 が対角線共通部分について閉じていることを確認する。 をclub集合の列とする。 をその対角線共通部分すなわち とする。 が閉であることを示す。 かつ かつ とする。このとき、 とすると、各 に対して、 である。各 について、 である。従って、 である。よって、閉集合であることは示された。 が非有界であることを示す。 として、可算列 を以下のように定義する: とし、 を、 なるうちでの の最小要素とする。そのような要素は、多くないclub集合の共通部分がclubなので存在する。そして かつ である。それは、全ての について、その要素が の元だからである。よって、 は非有界である。 が正則基数なら、club集合の族の対角線共通部分はclub集合である。さらに言えば、 が正則で を 上のフィルターで対角線共通部分について閉じていて (ただし )の形の集合を全て要素に持つとすると は全てのclub集合を要素に持つ。
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