ascent, descent, run
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/13 13:51 UTC 版)
「置換 (数学)」の記事における「ascent, descent, run」の解説
n の置換 σ の ascent（上昇点[訳語疑問点]）とは、次の値が現在のものよりも大きくなる、任意の位置 i (< n) を言う。つまり、σ = σ1σ2…σn のとき、i が ascent であるとは σi < σi+1 となることを言う。 例えば、置換 3452167 は 1, 2, 5, 6 番目の位置に ascent を持つ。 同様に descent（下降点[訳語疑問点]）は σi> σi+1 となる位置 i (< n) を言う。従って、1 ≤ i < n なる任意の i は、σ の ascent であるか descent であるかの何れかになる。 k 個の ascent を持つ n の置換の総数は、オイラー数 (組合せ論)（英語版） ⟨ n k ⟩ {\displaystyle \textstyle \left\langle {n \atop k}\right\rangle } で与えられる。これは k 個の descent を持つ n の置換の総数にも等しい。 置換の ascending run（上昇列[訳語疑問点]）とは、置換の空でない連続した増大部分列で、両端で延長できないものをいう。これは連続する ascent の極大列に対応する（後者は空でもよい。連続する二つの descent の間には、まだ長さ 1 の ascending run が存在する）。対照的に、置換の増大部分列は、連続しているものに限らない。これは与えられた置換から適当な位置の値を落として得られる元の増大列である。例えば、置換 2453167 は ascending run 245, 3, 167 を持ち、また増大部分列の1つは 2367 である。 置換が k − 1 個の descent を持つならば、それは k 個の ascending run の和でなければならない。従って、k 個の ascending run を持つ n の置換の総数は、k − 1 個の descent を持つ n の置換の総数 ⟨ n k − 1 ⟩ {\displaystyle \textstyle \left\langle {n \atop k-1}\right\rangle } に等しい。
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