時間尺度微分積分学とは？わかりやすく解説

数学における時間尺度微分積分学（じかんしゃくどびぶんせきぶんがく、英: time-scale calculus）は、微分積分学と和分差分学とを統一するもので、微分方程式の理論と差分方程式の理論とを統合した（連続と離散の入り混じった）力学系の研究の方法論を提供する。時間尺度微分積分学は、離散および連続データを同時にモデリングすることが要求される任意の分野において応用を持つ。この分野における新たな微分の定義は、実数全体を引数とする函数に作用したとき通常の意味での微分と同値になり、整数全体を引数とする函数に作用したとき前進差分と同値となるようなものとして与えられる。

歴史

時間尺度微分積分学は、1988年にドイツの数学者シュテファン・ヒルゲル（英語版）が導入した^[1]ものだが、同様のアイデアはそれ以前よりあり、少なくとも和と積分が統合されるリーマン–スティルチェス積分の導入にまで遡れる。

デルタ微分方程式

（連続的な）微分方程式に関する多くの結果は極めて容易に（離散的な）差分方程式の対応する結果に読み替えることができるが、それに当てはまらない差分方程式に関する結果はその連続版の対応物とは大きくかけ離れているように見える^[2]。時間尺度上のデルタ微分方程式 (dynamic equation; 動力学方程式、動態方程式) の研究は、そのような齟齬について明らかにし、微分方程式と差分方程式の間での二度手間を避ける手助けとなる。その一般的なアイデアは、未知函数の定義域がいわゆる「時間尺度」（あるいは「時間集合」）と呼ばれる実数直線の任意の閉部分集合である場合の、デルタ微分方程式に対する結果を証明することである。こうすることにより、得られた結果は（通常の連続的な結果を示す）実数全体 $ℝ$ や（通常の離散的な結果を示す）整数全体 $ℤ$ のみならず、より一般にカントール集合のような複雑な時間尺度に対しても適用できる。

そのような時間尺度上のデルタ微分法の中で最も知られた三種の例として、微分法・差分法・量子解析を挙げることができる。Dynamic equations on a time scale have a potential for applications, such as in population dynamics. For example, they can model insect populations that evolve continuously while in season, die out in winter while their eggs are incubating or dormant, and then hatch in a new season, giving rise to a non–overlapping population.

厳密な定義

時間尺度あるいは測度鎖 (measure chain) とは実数直線 $ℝ$ の任意の閉部分集合のこととする。一般の時間尺度を表すのに $𝕋$ がよく用いられる。

時間尺度として最もよく遭遇するふたつが、実数全体 $ℝ$ や離散時間 $h ℤ$ である。

A single point in a time scale is defined as:

t:t\in \mathbb {T}

[1]

[2]

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