対称群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/07/01 05:29 UTC 版)
対称群（たいしょうぐん、symmetric group）とは、「ものを並べ替える」という操作を元とする群である。この場合の「ものを並べ替える」操作のことを置換（ちかん、permutation）という。数学の議論の様々な場面で「番号づけられて並んでいるものを入れ替える」「入れ替えの可能性すべてを調べる」ことが問題となり、対称群はそのような議論を定式化するために用いられる。置換のうちで特別なものだけを集めて得られる群は置換群（ちかんぐん、permutation group）[1]と呼ばれる。置換群が空間 X の変換群として与えられているとき、X の元 x の置換は Stab(x) = {σ ∈ SX | σx = x} で与えられる SX の部分群の分だけ潰れているが、これは X のなかに x と「同じ」元が複数含まれている場合に対応しており、X の中でこれらを区別することができれば X の元の置換から対称群 SX が回復される。
注釈
- ^ これはグラフであって、表示が似ているからと言ってベクトルや行列ではない。また、実際には前者（点の入れ替え）と後者（番号の入れ替え）は双対の関係にあり、ちょうど σ−1(xk) と xσ(k) が、あるいは σ の右作用と左作用との入れ替えが対応する。
出典
- ^ 日本数学会 編『岩波数学事典』（第4版）岩波書店、2007年。ISBN 978-4000803090。
- ^ (Dixon & Mortimer 1996, p. 268)
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