流れ関数

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流れ関数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/03/30 07:24 UTC 版)

流れ関数（ながれかんすう）または流れの関数とは、2次元の非圧縮性流れに対し、以下の関係を満たす関数Ψである。

$u={\frac {\partial \Psi }{\partial y}},\quad v=-{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}$

ここでx , y は2次元直交座標、u , v はそれぞれx , y 方向の流速である。この関数Ψを用いると、連続の式は自動的に満たされる。

性質

流れの中に任意に2点A, Bを選んだとき、各点の流れの関数の差は、2点を結ぶ曲線を横切る流量に等しい（この流量は2点A, Bのみに依存し、曲線の選び方によらない）。

$\Psi (B)-\Psi (A)=\int _{A}^{B}v_{n}ds$

ここでds は曲線の線要素、v_n は流速の曲線と直交する成分である。

特に、1本の流線上の任意の2点について上式右辺は0であるため、Ψ = const. は流線を表す。

流れの領域の中に吸い込み、湧き出しが存在する場合、流れの関数は多価関数になる。

派生する関数

ストークスの流れ関数

ストークスの流れ関数は軸対称流に対する類似した概念である。対称軸をx 軸とし、x 軸からの距離をy で、それぞれの流速をu , v で表すと、ストークスの流れ関数は以下の関係を満たす。

$u={\frac {1}{y}}{\frac {\partial \Psi }{\partial y}},\quad v=-{\frac {1}{y}}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}$

圧縮性流れ

圧縮性流れに対しても流れ関数は定義できる。密度をρとすると、流れ関数は以下の関係を満たす。

$\rho u={\frac {\partial \Psi }{\partial y}},\quad \rho v=-{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}$

関連項目

• 渦度・流れ関数法
• 複素速度ポテンシャル