サドルノード分岐とは - わかりやすく解説 Weblio辞書

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サドルノード分岐

(Saddle-node bifurcation から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/10 09:49 UTC 版)

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サドルノード分岐の様子を示すアニメーション。曲線が

x

軸と1点で接するときに分岐が起きる。

サドルノード分岐（英語: saddle node bifurcation）は、力学系における分岐の一種。フォールド分岐（英語: fold bifurcation）ともいい、とくに1次元離散力学系では接線分岐（英語: tangent bifurcation）ともいう。安定な固定点と不安定な固定点が衝突し、固定点が消滅する、あるいは逆に何の固定点が存在しない場所に安定な固定点と不安定な固定点が現れるような分岐を起こす。

サドルノード分岐は、固定点近傍で起こる局所的分岐の一種で、1次元以上の系で起こる。連続力学系におけるサドルノード分岐の標準形は1次元常微分方程式の

{\frac {dx}{dt}}=\mu \mp x^{2}

標準形におけるパラメータ $μ$ と固定点 $x *$ の変化を整理すると次のようになっている^[19]。

$μ < 0$ では、固定点は存在しない。
$μ = 0$ では、 $x = 0$ にただ1つの固定点が現れる。
$μ > 0$ では、1つだった固定点は $x * = \pm \sqrt μ$ という2つの固定点に分かれる。片方の $x * = \sqrt μ$ が沈点で、もう片方の $x * = - \sqrt μ$ が源点になる。

パラメータ $μ$ を独立変数とみなし、 $μ - x$ 平面で固定点の様子を描いたものを分岐図という^[20]。サドルノード分岐の標準形の分岐図は、以下の図のようになる^[21]。分岐図上の曲線が折れ曲がっているような形をしていることからフォールド分岐（英語: fold bifurcation）とも呼ぶ^[22]。