ロジャース＝ラマヌジャン恒等式とは - わかりやすく解説 Weblio辞書

ロジャース＝ラマヌジャン恒等式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/30 13:33 UTC 版)

ロジャース＝ラマヌジャン恒等式（ロジャース＝ラマヌジャンこうとうしき、英: Rogers-Ramanujan identities）とは、 $q$ -級数の関係式^[1]^[2]^{[注 1]}。組合せ論においては、整数分割に結びついている^[3]。また数理物理学では、統計力学の可解格子模型や共形場理論に関連して現れる。イギリスの数学者レナード・ジェームス・ロジャース（英語版）に1894年に導かれ^[4]、後にインドの数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャンによって、1913年以前のどこかで再発見された^[5]。ラマヌジャンと親交が深く、共同研究者であった数学者ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディは、“ロジャース＝ラマヌジャン恒等式よりも美しい公式を見つけ出すことは難しいだろう...”と述べている^[6]。

脚注

出典

^ Hei-chi Chan (2011)
^ A. V. Sills (2017)
^ G. E. Andrews and K. Eriksson (2004)
^ ^a ^b ^c L. J. Rogers, Proc. London Math. Soc., vol.26, p. 15 (1894)
^ ^a ^b G. H. Hardy (1940), Lecture VI
^ S. Ramanujan (1927), p.xxxiv
^ MacMahon (1916), chapter III
^ L.J. Rogers and S. Ramanujan, Cambr. Phil. Soc. Proc.(1919)
^ I. Schur, (1917)
^ ^a ^b ^c ^d G. E. Andrews and K. Eriksson (2004), chapter 4
^ A.M Garsia and S. C. Milne, J. Combin. Theory, Series A (1981)
^ D. M. Bressoud and D. Zeilberger, Discrete Math.(1982)
^ G. H. Hardy (1999), Bruce C. Berndtによる注釈
^ Hei-Chi Chan (2011), chapter 11
^ G.H. Hardy (1940), Lecture I
^ A.V. Sills (2017), chapter 5
^ J. Lepowsky and S. Milne, Adv. Math. (1978)
^ Baxter, R J (1980-03-01). “Hard hexagons: exact solution”. Journal of Physics A: Mathematical and General 13 (3): L61–L70. doi:10.1088/0305-4470/13/3/007. ISSN 0305-4470.
^ Andrews, George E. (1981-09-01). “The hard-hexagon model and Rogers—Ramanujan type identities” (英語). Proceedings of the National Academy of Sciences 78 (9): 5290–5292. doi:10.1073/pnas.78.9.5290. ISSN 0027-8424. PMID 16593082.

注

^ ロジャースはロジャーズと表記されることもある。
^ 公式
${\frac {1}{1-q}}=1+q+q^{2}+q^{3}+\cdots$
から、例えば、第1恒等式の左辺は
${\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}}}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{n})}}&=1+{\frac {q}{(1-q)}}+{\frac {q^{4}}{(1-q)(1-q^{2})}}+{\frac {q^{9}}{(1-q)(1-q^{2})(1-q^{3})}}+\cdots \\&=1+q(1+q^{2}+q^{3}+q^{4}+q^{5}+\cdots )\\&\quad +q^{4}(1+q+q^{2}+q^{3}+\cdots )(1+q^{2}+q^{4}+\cdots )\\&\quad +q^{9}(1+q+q^{2}+q^{3}+\cdots )(1+q^{2}+q^{4}+\cdots )(1+q^{3}+q^{6}+\cdots )\\&\quad +\cdots \\&=1+q^{2}+q^{3}+2q^{4}+2q^{5}+3q^{6}+\cdots \end{aligned}}$
第1恒等式の右辺は
${\begin{aligned}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(1-q^{5n-4})(1-q^{5n-1})}}&={\frac {1}{(1-q)(1-q^{4})(1-q^{6})(1-q^{9})}}\cdots \\&=(1+q+q^{2}+q^{3}+q^{4}+q^{5}+q^{6}+\cdots )\\&\quad (1+q^{4}+q^{8}+q^{12}+\cdots )\\&\quad (1+q^{6}+q^{12}+\cdots )\cdots \\&=1+q^{2}+q^{3}+2q^{4}+2q^{5}+3q^{6}+\cdots \end{aligned}}$
である。 $q n$ の係数がどのように定まるかを見ると、分割の母関数としての役割がわかる。