アルダーの予想

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アルダーの予想

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/10/26 15:26 UTC 版)

「シューアの分割定理」の記事における「アルダーの予想」の解説

シューアの分割定理と他のいくつかの分割定理との間に類似性を見ることができる。例えば、和因子が3を法として±1に合同である分割については、次の定理が成り立つ。 「和因子が3を法として±1に合同である分割」と「和因子が0-差的な分割」は同数 和因子が4を法として±1に合同である分割については、オイラーの分割恒等式が成り立つ。オイラーの分割恒等式は、和因子が奇数である分割は、和因子が互いに相異なる分割は同数あることを主張する。整数が奇数という条件は、和因子が4を法として±1に合同であるという条件と同値である。また、和因子が相異なるという条件は1-差的であることを表す。したがって、オイラーの分割恒等式は 「和因子が4を法として±1に合同である分割」と「和因子が1-差的な分割」は同数 と表せる。和因子が5を法として±1に合同である分割については、ロジャース＝ラマヌジャン恒等式から得られる分割恒等式 「和因子が5を法として±1に合同である分割」と「和因子が2-差的な分割」は同数 が成り立つ。これらの結果から一見して、一般に正の整数 d について、 「和因子がd+3を法として±1に合同である分割」と「和因子がd-差的な分割」は同数 が期待されるが、これは成り立たない。実際、d=3の版であるシューアの分割定理は、 「和因子が6を法として±1に合同である分割」と「和因子が3-差的で、連続する3の倍数を含まない分割」は同数 を主張しており、3-差的であることに加えて、連続する3の倍数を含まないという条件が必要となる。一般の場合には条件を弱めたアルダーの予想 「和因子がd-差的な分割」の個数は「和因子がd+3を法として±1に合同である分割」の個数以上 が予想されている。7は例外の可能性があるが、d が2k-1 の形の整数である場合、この予想が正しいことが知られている。但し、それ以外の場合については、この予想は未解決である。