ナッシュの埋め込み定理
ジョン・フォーブス・ナッシュ (John Forbes Nash) の名に因んだナッシュの埋め込み定理 (英: Nash embedding theorems または 英: embedding theorems)) は、すべてのリーマン多様体はユークリッド空間の中へ等長に埋め込むことができるという定理である。等長とは、すべての道 (path)の長さが保存されることを意味する。例えば、紙のページを引き伸ばしたり破ったりすることなしに折り曲げると、ページのユークリッド空間への等長うめこみになる。ページに描かれた曲線はページが折り曲げられても同じ長さのままであるからだ。
第一の定理は、連続微分可能な（C1 級の）埋め込みに対するものであり、第二の定理は、解析的な埋め込みと、3 ≤ k ≤ ∞ に対して Ck 級の滑らかさを持つ埋め込みに関するものである。これらの 2つの定理は、互いに非常に異なっている。第一の定理は非常に容易に証明でき、非常に反直感的な結果を導くが、一方第二の定理の証明は非常に技巧的であるが結果はそれほど驚くようなものではない。
C1 定理は1954年に、Ck 定理は1956年に出版された。実解析的な定理は最初ナッシュにより1966年に扱われた。彼の議論はGreene & Jacobowitz (1971) により非常に簡素化された。（この結果の局所版は、1920年代にエリ・カルタン (Élie Cartan) とモーリス・ジャネ (Maurice Janet) により証明された。）実解析的な場合は、ナッシュの逆関数の議論における smoothing operator（以下を参照）を、コーシーの評価に取り替えることができる。Ck の場合のナッシュの証明は、後に、h-原理 (h-principle) やナッシュ・モーザーの陰関数定理 (Nash–Moser implicit function theorem) へ拡張された。第二のナッシュの埋め込み定理の簡素化された証明は、Günther (1989) により得られた。彼は非線型偏微分方程式系を楕円系に帰着させ、収縮写像定理が適用できるようにした。
ナッシュ･クーパーの定理（C1 埋め込み定理）
定理 (M, g) をリーマン多様体とし、ƒ: Mm → Rn をユークリッド空間 Rn の中への短い(short) C∞ 級埋め込み（あるいははめ込み）とする。ただし n ≥ m + 1．すると、任意の ε > 0 に対し、埋め込み（あるいははめ込み）ƒε: Mm → Rn であって以下の条件を満たすものが存在する。
- (i) C1 級である。
- (ii) 等長的である：M の点 x における接空間 TxM の任意の 2つのベクトル v, w に対して、
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