Nが大きい場合の極限
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/26 09:25 UTC 版)
N → ∞ {\displaystyle N\to \infty } の場合を考えよう。固有振動数の分布がg（ω）（正規化されていると仮定する）で表されるとする。時刻tでの位相θ、固有振動数ωにおいて、振動子の密度が ρ ( θ , ω , t ) {\displaystyle \rho (\theta ,\omega ,t)} であるとする。正規化の要請から次の式を満たす。 ∫ − ∞ ∞ ρ ( θ , ω , t ) d θ = 1. {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\rho (\theta ,\omega ,t)\,d\theta =1.} 振動子の密度の連続の式は次のようになる。 ∂ ρ ∂ t + ∂ ∂ θ [ ρ v ] = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial \theta }}[\rho v]=0,} ここで、vは振動子のドリフト速度であり、 N → ∞ {\displaystyle N\to \infty } における支配方程式の変形から、 ∂ ρ ∂ t + ∂ ∂ θ [ ρ ω + ρ K r sin ( ψ − θ ) ] = 0. {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial \theta }}[\rho \omega +\rho Kr\sin(\psi -\theta )]=0.} 最後に、 N → ∞ {\displaystyle N\to \infty } での秩序パラメータの定義を書き直そう。 θ i {\displaystyle \theta _{i}} は（ωでの）アンサンブル平均で、和は積分で置き換えられるので次のようになる。 r e i ψ = ∫ − π π e i θ ∫ − ∞ ∞ ρ ( θ , ω , t ) g ( ω ) d ω d θ . {\displaystyle re^{i\psi }=\int _{-\pi }^{\pi }e^{i\theta }\int _{-\infty }^{\infty }\rho (\theta ,\omega ,t)g(\omega )\,d\omega \,d\theta .}
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