Kronecker軌道
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/09/03 06:28 UTC 版)
「作用・角変数」の記事における「Kronecker軌道」の解説
作用・角変数 ( J , θ ) {\displaystyle (\mathbf {J} ,{\boldsymbol {\theta }})} を用いるとき、系のハミルトニアンは H = H ( J ) {\displaystyle H=H(\mathbf {J} )} であるため、正準方程式は d J i d t = − ∂ H ∂ θ i = 0 , d θ i d t = ∂ H ∂ J i =: ω i ( J ) {\displaystyle {\frac {dJ_{i}}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial \theta _{i}}}=0,\ \ {\frac {d\theta _{i}}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial J_{i}}}=:\omega _{i}(\mathbf {J} )} となる。従ってその解はただちに J i = C o n s t . , θ i = ω i ( J ) t + β i {\displaystyle J_{i}=\mathrm {Const.} ,\ \ \theta _{i}=\omega _{i}(\mathbf {J} )t+\beta _{i}} と求まる ( β i {\displaystyle \beta _{i}} は定数)。従って ω i = ∂ H ∂ J i {\displaystyle \omega _{i}={\frac {\partial H}{\partial J_{i}}}} は運動の角振動数である。この解がArnoldトーラス上に描く軌道をKronecker軌道と呼ぶ。 振動数 ω = ( ω 1 , ω 2 , ⋯ , ω n ) {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=(\omega _{1},\omega _{2},\cdots ,\omega _{n})} がすべて互いに有理数比にある場合には、解軌道 θ = ω t + β {\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}={\boldsymbol {\omega }}t+{\boldsymbol {\beta }}} はArnoldトーラス上の周期軌道となる。一方、そうでない場合には、解軌道はArnoldトーラスを稠密に埋め尽くし、準周期軌道 (qusi-periodic orbit) または条件周期軌道 (conditionally periodic orbit) と呼ばれる。
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