ホップ代数
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/08/12 14:19 UTC 版)
数学において，ホップ代数（ホップだいすう，英: Hopf algebra）は，ハインツ・ホップに因んで名づけられた代数的構造であり，同時に（単位的結合）代数かつ（余単位的余結合的）余代数であり，これらの構造の整合性により双代数になっており，さらにある性質を満たす反自己同型を備えたものである．ホップ代数の表現論は特に見事である，なぜならば整合的な余積，余単位射，対合射の存在により，表現のテンソル積，自明表現，双対表現を構成できるからである．
ホップ代数は，その起源であり H 空間の概念と関係する代数的位相幾何学，群スキームの理論，群論（群環の概念によって），そして多数の他の場所で，自然に生じ，おそらく双代数の最もよく知られた種類となっている．ホップ代数はそれ自身も研究されていて，一方では例の特定のクラスが，他方では分類問題が，多く研究されている．それらは物性物理学や量子的場の理論[1]から弦理論[2]まで多様な応用を持つ．
定理 (ホップ)[3] A を標数 0 の体上の有限次元次数付き可換次数付き余可換ホップ代数とする．このとき A は（代数として）奇数次の生成元による自由外積代数である．
定義
正式には，ホップ代数は体 K 上の（結合的かつ余結合的）双代数 H であって，次の図式が可換であるような（対蹠射または対合射と呼ばれる）K 線型写像 S: H → H を持つものである：
ここで Δ は双代数の余積であり，∇ は積，η は単位射，ε は余単位射である．スウィードラーの記法を用いて，この性質は次のようにも書ける：
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