Frobenius相互律とは何？わかりやすく解説 Weblio辞書

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Frobenius相互律

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/15 14:18 UTC 版)

「群の表現」の記事における「Frobenius相互律」の解説

有限群 G の部分群 H を取る。群 G の表現 T : G → GL(V) に対し、部分群 H への制限表現 TH : H → GL(V) を TH(h) = T(h) で定める。またこの制限表現から定まる部分群 H の表現加群のことを制限加群といい、VH, V↓H あるいは ResGHV で表す。このとき線型空間としての同型 Hom F H ⁡ ( U , V H ) ≅ Hom F G ⁡ ( U G , V ) , f ↦ ( ∑ t ∈ G / H u ⊗ t ↦ ∑ t ∈ G / H f ( u ) t ) {\displaystyle \operatorname {Hom} _{FH}(U,V_{H})\cong \operatorname {Hom} _{FG}(U^{G},V),\quad f\mapsto {\big (}\sum _{t\in G/H}u\otimes t\mapsto \sum _{t\in G/H}f(u)t{\big )}} Hom F H ⁡ ( V H , U ) ≅ Hom F G ⁡ ( V , U G ) , f ↦ ( v ↦ ∑ t ∈ G / H f ( v t − 1 ) ⊗ t ) ) {\displaystyle \operatorname {Hom} _{FH}(V_{H},U)\cong \operatorname {Hom} _{FG}(V,U^{G}),\quad f\mapsto {\big (}v\mapsto \sum _{t\in G/H}f(vt^{-1})\otimes t){\big )}} が成り立つ。これをFrobenius相互律 (Frobenius reciprocity) という。

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