特性関数 (確率論)

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特性関数 (確率論)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/03/22 00:56 UTC 版)

集合の特性関数については「指示関数」をご覧ください。

U(−1, 1) の一様確率変数の特性関数。原点を中心とする対称性のある確率変数であるため、この関数は実数値を返す。ただし、一般に特性関数は複素数を返す。

確率論と統計学において、任意の確率変数に対する特性関数（とくせいかんすう、英: characteristic function）とは、その確率分布を完全に定義する関数である。したがって、確率密度関数や累積分布関数の代わりに特性関数を解析の基盤とすることもできる。確率変数の重み付き総和で分布を定義する単純な特性関数も存在する。

1 変量の分布以外にも、ベクトルまたは行列型の確率変数についての特性関数もあり、さらに一般化することもできる。

実数引数をとる関数と考えたとき、特性関数は積率母関数とは異なり、常に存在する。特性関数の振る舞いとその分布の属性には、モーメントの存在や密度関数の存在などの関係がある。

導入

特性関数は確率変数を記述する代替手段を提供する。累積分布関数

${\displaystyle F_{X}(x)=\operatorname {\mathbb {E} } [\mathbf {1} _{\{X\leq x\}}]}$

ポリアの定理を使い、有限区間では同じだが、それ以外の区間では異なる 2 つの確率変数を構築した例

• ポリアの定理 (Pólya's theorem)：φ が実数値の連続関数で以下の条件を満たす場合、
  • φ(0) = 1,
  • φ は偶関数,
  • φ は t > 0 について凸関数,
  • φ(∞) = 0,

φ(t) は絶対連続で対称な分布の特性関数である。

• 有限または可算な個数の特性関数の凸線型結合 ${\displaystyle \scriptstyle \sum _{n}a_{n}\varphi _{n}(t)}$ カテゴリ