Cayley–Hamilton theorem

ウィキペディア

ケイリー・ハミルトンの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/07/06 03:26 UTC 版)

王立協会フェロー・アーサー・ケイリー (1821-1895) は19世紀のブリテンを代表する純粋数学者として広く知られている。ケイリーは1848年にダブリンに赴き、ハミルトンから発見者直々に四元数の講義を受けている。のちにケイリーは、四元数に関する成果を出版する2番目となることによりハミルトンに印象付けた^[1]。 ケイリーは 3次以下の行列に対して定理を証明したが、2次の場合に対してだけ証明を発表した^[2][3]。一般の n次の場合についてケイリーは「……、任意次数の行列という一般の場合に定理をきちんと証明する労を引き受ける必要を覚えない。」と述べている。

アイルランドの物理学・天文学・数学者ウィリアム・ローワン・ハミルトン (1805-1865) は米国科学アカデミー初の外国人会員である。幾何学をいかにして研究すべきかについては対立する位置に立ちながらも、ハミルトンは常にケイリーと最良の関係を留めていた^[1]。 ハミルトンは四元数に関する線型函数に対して、それ自身が満足するある種の方程式の存在を証明した^[4][5][6]。

線型代数学におけるケイリー・ハミルトンの定理（ケイリー・ハミルトンのていり、英: Cayley–Hamilton theorem）、またはハミルトン・ケイリーの定理とは、（実数体や複素数体などの）可換環上の正方行列は固有方程式を満たすという定理である^[7]。アーサー・ケイリーとウィリアム・ローワン・ハミルトンに因む。

n次正方行列 A に対して、I_n を n次単位行列とすると、A の固有多項式は

${\displaystyle p(\lambda ):=\det(\lambda I_{n}-A)}$

フェルディナント・ゲオルク・フロベニウス (1849-1917) はドイツの数学者。主な興味は楕円函数、微分方程式、のちに群論。
1878年、フロベニウスがケイリー・ハミルトンの定理の完全な証明を初めて与えた^[13]。

代数的数論

代数的整数の最小多項式の計算においてもケイリー・ハミルトンの定理は有用である。例えば、Q の有限次拡大 Q[α₁, …, α_k] とその代数的整数 α（これは添加された元の冪積 α n₁
1 …α n_k
k  の非自明な Q-線型結合に書ける）が与えられたとき、α を掛けるという Q-線型変換

${\displaystyle \cdot \alpha \colon \mathbb {Q} [\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{k}]\to \mathbb {Q} [\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{k}]}$ カテゴリ