遠アーベル幾何学
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遠アーベル幾何学（えんアーベルきかがく、Anabelian geometry）は数学の理論であり、代数多様体 V 上の代数的基本群(algebraic fundamental group) G や関連する幾何学的対象を記述する。また、V をどのように他の幾何学的対象 W へ写像することができるかを決定する。いずれもより詳細な意味は、G がアーベル群から遠い場合を前提とするという意味である。
- ^ 「与えられた代数多様体が代数曲線（1次元）の場合には、その遠アーベル性は、双曲性と同値であろうと考えられていた。」「しかしながら、Grothendieckは、2次元以上の代数多様体に対する遠アーベル性の正確な定義を与えなかった。また、Grothendieckが定義を与えなかったというだけでなく、そもそも、高次元にも通用する’適切な定義’が存在するのかどうかすら、現時点においても不明のままである。」 （「遠アーベル幾何学の進展」 星裕一郎 p.2） 『数学』第 74 巻 第 1 号 2022 年 1 月 冬季号
- ^ 接頭辞「a-」は「～が欠陥している」「～とは関係がない」という意味。 「in-」が「～ではない」を指していたのに対し、「a-」はもう少し意味が強い「～が欠陥している/～とは関係がない」という言葉に使うと言える. 「immoral」と「amoral」の例を取ればわかりやすいと思うが、「immoral」は飽くまで「不道徳」つまり「道徳ではない/道徳に反している」という意味だったのに対し、「amoral」は「道徳とは関係ない/道徳の概念がない」という意味である。 頭文字が母音から始まる言葉に接頭辞「a-」を付ける際には「an-」に変化する。 【フランス語の文法・フランス語のフレーズ・フランス語の豆知識】(接頭辞がつく否定形の形容詞や言葉（in- / im- / ir- / il- / a- / dé- / mal- / mé-）【フランス語】)
- ^ Alexander Grothendieck, 1984. "Esquisse d'un Programme", (1984 manuscript), published in "Geometric Galois Actions", L. Schneps, P. Lochak, eds., London Math. Soc. Lecture Notes 242, Cambridge University Press, 1997, pp. 5–48; English transl., ibid., pp. 243–283.
- ^ Y. Hoshi, Introduction to mono-anabelian geometry (PDF) to appear in Proceedings of the conference “Fundamental Groups in Arithmetic Geometry”, Paris, France 2016. [1] (Semantic Scholar単遠アーベル関連サイト Introduction to Mono-anabelian Geometry )
- ^ 単遠アーベル幾何学に対して、「（望月は）’充満・忠実性の観点によるこれまでの遠アーベル幾何学’ を双遠アーベル幾何学(bi-anabelian geometry)と呼び、これら’二つの遠アーベル幾何学’ に区別を与えた。」 （「遠アーベル幾何学の進展」 星裕一郎 pp.15-16） 『数学』第 74 巻 第 1 号 2022 年 1 月 冬季号
- ^ 単遠アーベル的復元は,“所望の手続きの存在を証明する”ことが目的なのではなく,“所望の手続きを与える”ことが目的である. 例えば, [8],Corollary 1.10, は, その主張を述べるためにおよそ 3 ページが費やされ, しかし, 証明がたったの 2 行で終わってしまうという, 従来の数学では比較的珍しい構成になっている. このような状況が生じる背景には, この “主張の中にその手続きを書くべき” という考えがある. (絶対 Galois 群による数体の復元 星 裕一郎 (京都大学 数理解析研究所) 2014年5月 p.4)
- ^ Fesenko, Ivan (2021), Class field theory, its three main generalisations, and applications, May 2021, EMS Surveys 8(2021) 107-133
- ^ 表記の揺れがある。エタール基本群(etale fundamental group)、代数的基本群(Algebraic fundamental group)など。
- ^ Grothendieck’s “Long March through Galois theory”, p. 2.
- ^ 2 – 2g – nは、オイラー標数。< 0は、双曲曲線(双曲曲面)*)を意味すると考えられる。( *)複素1変数(1次元)で曲線、それを実2変数(2次元)とみれば曲面になる。) ”種数 g の有向曲面 Σg からn個の点を除いて得られる曲面を Σg,n で表す。 任意の有限面積有向双曲曲面は，オイラー標数がχ(Σg,n) = 2 − 2g − n < 0を満たす Σg,n に同相である。” (「結び目と３次元多様体～幾何構造とファイバー構造を中心として～」作間誠 (広島大学)(2016)p3. 「2.3. 双曲曲面とタイヒミュラー空間」より) (第63回トポロジーシンポジウム(2016))
- ^ S. Mochizuki, The profinite Grothendieck conjecture for hyperbolic curves over number fields, J. Math. Sci. Univ. Tokyo 3 (1996), 571–627.
- ^ Ihara, Yasutaka; Nakamura, Hiroaki (1997-07-10). “Some illustrative examples for anabelian geometry in high dimensions” (PDF). London Math. Soc. Lecture Note Series 242 (Geometric Galois Actions I): 127-138. doi:10.1017/cbo9780511758874.010. ISSN 00760552 2023年12月19日閲覧。.
- ^ Mochizuki, Shinichi (2003-01-01). “The Absolute Anabelian Geometry of Canonical Curves” (PDF). DOCUMENTA MATHEMATICA Extra Volume (a collection of manuscripts written in honour of Kazuya Kato on the occasion of his fiftieth birthday): 609--640. doi:10.4171/dms/3/17. ISSN 14310643. CRID 1360016870443970432 2023年12月19日閲覧。.
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「遠アーベル幾何学」の続きの解説一覧
- 1 遠アーベル幾何学とは
- 2 遠アーベル幾何学の概要
- 3 曲線上のグロタンディークの予想の定式化
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