2乗平均平方根とは？わかりやすく解説

二乗平均平方根 （にじょうへいきんへいほうこん、（英: root mean square, RMS）はデータや確率変数の二乗の算術平均の平方根である^[1]。

概要

RMSはデータ・確率変数・離散信号・連続関数など複数要素からなる対象について、要素を二乗し、それらの算術平均を取り、この平均値の平方根を取ったものである^[1]（⇒ #定義）。RMSは単位の維持や直交成分の二乗平均和などの特性をもつ^[2]（⇒ #特性）。これらの特性から「強さ」の指標として有用であり^[3]、実効値という名前で広く応用されている^[4]（⇒ #応用）。偏差のRMSは平均や標準偏差と関連がある（⇒ #平均値および標準偏差との関係）。

絶対値の平均よりも計算が積和演算であるため高速化が容易である。二乗平均平方根は、一般化平均において指数パラメータを $2$ としたものであるとも言える。

RMSは「系列の各要素を2乗し、それらを平均し、平均値の平方根をとったもの」である^[1]。

大きさ $n\in \mathbb {R}$

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例えば、データ $1, 1, 2, 3, 5$ の二乗平均平方根は次のようになる。

{\begin{aligned}\operatorname {RMS} [x]&={\sqrt {{\frac {1}{5}}\left(1^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+5^{2}\right)}}\\&={\sqrt {8}}\approx 2.8284271\end{aligned}}

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変量 $x$ に対して期待値 $⟨ x ⟩$ が定まるなら、その量の期待値からの偏差 $x - ⟨ x ⟩$ の二乗平均平方根 $RMS[x - ⟨ x ⟩]$ を与えることができる。この偏差の二乗平均平方根は $x$ の標準偏差 $σ x$ に等しい。

\sigma _{x}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-\langle x\rangle \right)^{2}}}=\operatorname {RMS} [x-\langle x\rangle ]