頂点代数からの導出方法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/10/10 15:35 UTC 版)
「クニーズニク・ザモロドチコフ方程式」の記事における「頂点代数からの導出方法」の解説
(Xs) をキリング形式の g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の直交基底とし、相関函数 ∑ s ⟨ X s ( w ) X s ( z ) Φ ( v 1 , z 1 ) ⋯ Φ ( v n , z n ) ⟩ ( w − z ) − 1 {\displaystyle \sum _{s}\left\langle X_{s}(w)X_{s}(z)\Phi (v_{1},z_{1})\cdots \Phi (v_{n},z_{n})\right\rangle (w-z)^{-1}} を最初の変数 w で z の周りの小さな円を回る積分と解釈することにより、クニーズニク・ザモロドチコフ方程式を得ることができる。コーシーの定理により、次のように zj を中心とする n 個の小さな円の上の積分の和として表すことができる。 1 2 ( k + h ) ⟨ T ( z ) Φ ( v 1 , z 1 ) ⋯ Φ ( v n , z n ) ⟩ = − ∑ j , s ⟨ X s ( z ) Φ ( v 1 , z 1 ) ⋯ Φ ( X s v j , z j ) Φ ( X n , z n ) ⟩ ( z − z j ) − 1 . {\displaystyle {1 \over 2}(k+h)\left\langle T(z)\Phi (v_{1},z_{1})\cdots \Phi (v_{n},z_{n})\right\rangle =-\sum _{j,s}\left\langle X_{s}(z)\Phi (v_{1},z_{1})\cdots \Phi (X_{s}v_{j},z_{j})\Phi (X_{n},z_{n})\right\rangle (z-z_{j})^{-1}.} zi を中心とする小さな円について変数 z で両辺を積分すると、i-番目のクニーズニク・ザモロドチコフ方程式が得られる。
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