関連する不等式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/11/14 05:18 UTC 版)
「ドゥーブのマルチンゲール不等式」の記事における「関連する不等式」の解説
離散時間マルチンゲールに対するドゥーブの不等式からコルモゴロフの不等式（英語版）が導出できる。 X1, X2, ... を実数値の独立確率変数列で、いずれも期待値が 0 であるとすると E [ X 1 + ⋯ + X n + X n + 1 | X 1 , … , X n ] = X 1 + ⋯ + X n + E [ X n + 1 | X 1 , … , X n ] = X 1 + ⋯ + X n , {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} \left[X_{1}+\dots +X_{n}+X_{n+1}{\big |}X_{1},\dots ,X_{n}\right]&=X_{1}+\dots +X_{n}+\mathbf {E} \left[X_{n+1}{\big |}X_{1},\dots ,X_{n}\right]\\&=X_{1}+\cdots +X_{n},\end{aligned}}} なので、Mn = X1 + ... + Xn はマルチンゲールになる。 Mn がマルチンゲールであれば、イェンセンの不等式より |Mn|2 は非負値劣マルチンゲールになる。ここでドゥーブのマルチンゲール不等式を用いると P [ max 1 ≤ i ≤ n | M i | ≥ λ ] ≤ E [ M n 2 ] λ 2 {\displaystyle \mathbf {P} \left[\max _{1\leq i\leq n}\left|M_{i}\right|\geq \lambda \right]\leq {\frac {\mathbf {E} \left[M_{n}^{2}\right]}{\lambda ^{2}}}} これはまさにコルモゴロフの不等式である。
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