計算可能関数への応用
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/25 13:57 UTC 版)
「グッドスタインの定理」の記事における「計算可能関数への応用」の解説
グッドスタインの定理を応用すると、全体関数であって、かつ全体関数であることがペアノ算術では証明できないような計算可能関数を構成できる。ある数のグッドスタイン数列はチューリングマシンによって算出できる。したがって、nを「nのグッドスタイン数列が停止するまでに要する項の数」に対応づけるような関数も、何らかのチューリングマシンによって計算できる。この計算機は単にnのグッドスタイン数列を算出し、もし数列が「0」に収束したならば、その数列の長さを返すだけである。全てのグッドスタイン数列は最終的には収束するので、この関数は全体関数である。ところがペアノ算術からは全てのグッドスタイン数列が収束することは証明できないので、ペアノ算術はこのチューリングマシンが計算しているのが全体関数であることを証明できない。
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