解法の説明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/01/22 08:45 UTC 版)
階数 n の非斉次常微分方程式 (i) y ( n ) ( x ) + ∑ i = 0 n − 1 a i ( x ) y ( i ) ( x ) = b ( x ) {\displaystyle {\text{(i) }}\quad y^{(n)}(x)+\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(x)y^{(i)}(x)=b(x)} (ii) y ( n ) ( x ) + ∑ i = 0 n − 1 a i ( x ) y ( i ) ( x ) = 0 {\displaystyle {\text{(ii) }}\quad y^{(n)}(x)+\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(x)y^{(i)}(x)=0} (iii) y p ( x ) = ∑ i = 1 n c i ( x ) y i ( x ) {\displaystyle {\text{(iii) }}\quad y_{p}(x)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}(x)y_{i}(x)} (iv) ∑ i = 1 n c i ′ ( x ) y i ( j ) ( x ) = 0 ( j = 0 , … , n − 2 ) {\displaystyle {\text{(iv) }}\quad \sum _{i=1}^{n}c_{i}'(x)y_{i}^{(j)}(x)=0\quad (j=0,\ldots ,n-2)} (v) ∑ i = 1 n c i ′ ( x ) y i ( n − 1 ) ( x ) = b ( x ) {\displaystyle {\text{(v) }}\quad \sum _{i=1}^{n}c_{i}'(x)y_{i}^{(n-1)}(x)=b(x)} を得る。yi(x) たちは線型独立だから、条件を満たすにはすべての x および i に対して ci′ = 0 でなければならない。従って、b(x) = 0 の場合には、すべての ci(x) が x に無関係な定数になる。 この n 本の線型方程式系はクラメルの公式を用いて解くことができて、 c i ′ ( x ) = W i ( x ) W ( x ) , ( i = 1 , … , n ) {\displaystyle c_{i}'(x)={\frac {W_{i}(x)}{W(x)}},\quad (i=1,\ldots ,n)} が導かれる。ただし、W(x) は解の基本系のロンスキー行列式で、Wi(x) は基本系のロンスキー行列式の第 i-列を (0, 0, …, b(x)) で置き換えたものとする。 ゆえに、非斉次方程式の特殊解は ∑ i = 1 n [ ∫ W i ( x ) W ( x ) d x ] y i ( x ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left[\int {\frac {W_{i}(x)}{W(x)}}dx\right]y_{i}(x)} と書くことができる。
※この「解法の説明」の解説は、「定数変化法」の解説の一部です。
「解法の説明」を含む「定数変化法」の記事については、「定数変化法」の概要を参照ください。
Weblioに収録されているすべての辞書から解法の説明を検索する場合は、下記のリンクをクリックしてください。
全ての辞書から解法の説明
を検索
- 解法の説明のページへのリンク
