行列 (数学)

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行列

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/04/06 03:34 UTC 版)

数学の線型代数学周辺分野における行列（ぎょうれつ、英: matrix）は、数や記号や式などを縦と横に矩形状に配列したものである。

概要

行・列

横に並んだ一筋を行(row)、縦に並んだ一筋を列(column)と呼ぶ。

例えば、下記のような行列

${\begin{bmatrix}1&9&-13\\20&5&-6\end{bmatrix}}$

行列の積の模式図

行列の積を初めて定義したのはケイリーである。行列の積は狭い意味での二項演算（即ち、台とする集合 X に対して X × X → X なる写像を定めるもの）ではない。l × m 行列 A と m × n 行列 B の積は l × n 行列となり、C = A B の (i, j) 成分 c_{i j} は、

$c_{ij}=\sum _{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}$

2 × 2 行列は、単位正方形を平行四辺形に変形することに対応する。

行列とその乗法は、これを一次変換（つまり線型写像）と関連付けるとき、その本質的な特徴が浮き彫りになる。

線型写像の行列表現

m × n 行列 A から線型写像 Rⁿ → R^m が各ベクトル x ∈ Rⁿ を行列としての積 Ax ∈ R^m へ写すものとして定まる。逆に、各線型写像 f: Rⁿ → R^m を生じる m × n 行列 A は一意的に決まる。陽に書けば、A の (i, j)-成分は、f(e_j) の第 i-成分である。ただし e_j = (0, …, 0, 1, 0, …, 0) は第 j-成分だけが 1 で他が全部 0 の単位ベクトルである。

このとき、行列 A は線型写像 f を表現すると言い、A を f の変換行列または表現行列と呼ぶ。

例えば 2 × 2 行列

$A={\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}$

図のような無向グラフの隣接行列は ${\begin{bmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}}$ カテゴリ