自然変換の演算
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/05/07 22:24 UTC 版)
η: F → G および ε: G → H を函手 F,G,H: C → D の間の自然変換とすると、これらを合成して自然変換 εη: F → H が得られる。これは成分ごとに考えればよい（(εη)X := εXηX）。この自然変換の「垂直合成」は結合的かつ単位元を持つ。故に C → D なるすべての函手の集まりをそれ自体圏と見ることができる（後述の函手圏節を参照）。 自然変換には「水平合成」も考えられる。η: F → G を函手 F,G: C → D 間の自然変換、ε: J → K を函手 J,K: D → E 間の自然変換とするとき、函手の合成から自然変換の合成 ηε: JF → KG が作れる。この演算もやはり結合的かつ単位元をもつ。またこの単位元は垂直合成における単位元と一致する。即ち、この垂直合成と水平合成という二つの演算は共通する単位元を通じて互いに関連を持つ。 η: F → G を函手 F,G: C → D 間の自然変換、H: D → E を別の函手とすると、自然変換 Hη: HF → HG が ( H η ) X = H η X {\displaystyle (H\eta )_{X}=H\eta _{X}} と定めることにより得られる。対称的に、K: B → C を函手として、自然変換 ηK: FK → GK が ( η K ) X = η K ( X ) {\displaystyle (\eta K)_{X}=\eta _{K(X)}} によって定まる。
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