第2キュムラント母関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/11/26 14:48 UTC 版)
「キュムラント母関数」の記事における「第2キュムラント母関数」の解説
第2キュムラント母関数 KX(t) を特性関数 ψX(t)の対数として次のように定義できる。 K X ( t ) = log φ X ( t ) = log ( E ( e i t X ) ) = log ( ∑ n = 0 ∞ ( i t ) n n ! μ n ) = ∑ n = 1 ∞ ( i t ) n n ! κ n {\displaystyle {\begin{aligned}K_{X}(t)&=\log \varphi _{X}(t)\\&=\log(\mathrm {E} (e^{itX}))\\&=\log \left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}}{n!}}\mu _{n}\right)\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(it)^{n}}{n!}}\kappa _{n}\end{aligned}}} n次キュムラント κn は次のように計算される。 κ n = 1 i n ∂ n ∂ t n K X ( t ) | t = 0 {\displaystyle \kappa _{n}={\frac {1}{i^{n}}}{\frac {\partial ^{n}}{\partial t^{n}}}K_{X}(t){\bigg |}_{t=0}}
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