漸化式の簡略化

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漸化式の簡略化

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/12/10 03:40 UTC 版)

「開平法」の記事における「漸化式の簡略化」の解説

不等式(1) を簡略化する。「20」を基数 10 と合わせるため 10 × 2 とする。そのため qm = 2pm ym = 10−2mx − 100pm2 とおくと、不等式(1) は (10qm + am)am ≤ ym … (1') である。 qm = 2pm = 2(10pm+1 + am+1) = 10qm+1 + 2am+1 … (2) (1') を満たす最大の am を求めるために、ym の整数部分 zm を、zm+1 から求める。 rm = (10qm + am)am とおくと、 ym = 10−2mx − 100pm2 = 100{10−2(m+1)x − (10pm+1 + am+1)2} = 100{10−2(m+1)x − 100pm+12} − 100(20pm+1 + am+1)am+1 = 100ym+1 − 100rm+1 100ym+1 = 10−2mx − 10000pm+12 の整数部分は、x の 10i の位を xi とすると、100zm+1 + 10x2m+1 + x2m に等しい。したがって、 zm = (100zm+1 + 10x2m+1 + x2m) − 100rm+1 = 100(zm+1 − rm+1) + 10x2m+1 + x2m … (3) (2), (3) から、(1') を満たす最大の am を求めていく。