正四十五角形
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/14 13:13 UTC 版)
正四十五角形においては、中心角と外角は8°で、内角は172°となる。一辺の長さが a の正四十五角形の面積 S は S = 45 4 a 2 cot π 45 ≃ 160.8825 a 2 {\displaystyle S={\frac {45}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{45}}\simeq 160.8825a^{2}} cos ( 2 π / 45 ) {\displaystyle \cos(2\pi /45)} を平方根と立方根で表すと、 cos 2 π 45 = cos ( π 9 − π 15 ) = cos π 9 cos π 15 + sin π 9 sin π 15 = 4 − 4 i 3 3 + 4 + 4 i 3 3 4 ⋅ 1 8 ( 6 ( 5 + 5 ) + 5 − 1 ) + i ( 4 − 4 i 3 3 − 4 + 4 i 3 3 ) 4 ⋅ 1 8 ( 2 ( 5 + 5 ) + 3 − 15 ) = 1 32 ( ( 4 − 4 i 3 3 + 4 + 4 i 3 3 ) ( 6 ( 5 + 5 ) + 5 − 1 ) + i ( 4 − 4 i 3 3 − 4 + 4 i 3 3 ) ( 2 ( 5 + 5 ) + 3 − 15 ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {2\pi }{45}}=&\cos \left({\frac {\pi }{9}}-{\frac {\pi }{15}}\right)\\=&\cos {\frac {\pi }{9}}\cos {\frac {\pi }{15}}+\sin {\frac {\pi }{9}}\sin {\frac {\pi }{15}}\\=&{\frac {{\sqrt[{3}]{4-4i{\sqrt {3}}}}+{\sqrt[{3}]{4+4i{\sqrt {3}}}}}{4}}\cdot {\frac {1}{8}}\left({\sqrt {6\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {5}}-1\right)+{\frac {i\left({\sqrt[{3}]{4-4i{\sqrt {3}}}}-{\sqrt[{3}]{4+4i{\sqrt {3}}}}\right)}{4}}\cdot {\frac {1}{8}}\left({\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right)\\=&{\frac {1}{32}}\left(\left({{\sqrt[{3}]{4-4i{\sqrt {3}}}}+{\sqrt[{3}]{4+4i{\sqrt {3}}}}}\right)\left({\sqrt {6\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {5}}-1\right)+{i\left({\sqrt[{3}]{4-4i{\sqrt {3}}}}-{\sqrt[{3}]{4+4i{\sqrt {3}}}}\right)}\left({\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right)\right)\end{aligned}}} 関係式 2 cos 2 π 45 + 2 cos 32 π 45 + 2 cos 28 π 45 = 0 2 cos 4 π 45 + 2 cos 26 π 45 + 2 cos 34 π 45 = 0 2 cos 8 π 45 + 2 cos 38 π 45 + 2 cos 22 π 45 = 0 2 cos 16 π 45 + 2 cos 14 π 45 + 2 cos 44 π 45 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{45}}+2\cos {\frac {32\pi }{45}}+2\cos {\frac {28\pi }{45}}=0\\2\cos {\frac {4\pi }{45}}+2\cos {\frac {26\pi }{45}}+2\cos {\frac {34\pi }{45}}=0\\2\cos {\frac {8\pi }{45}}+2\cos {\frac {38\pi }{45}}+2\cos {\frac {22\pi }{45}}=0\\2\cos {\frac {16\pi }{45}}+2\cos {\frac {14\pi }{45}}+2\cos {\frac {44\pi }{45}}=0\\\end{aligned}}} 三次方程式の係数を求めると 2 cos 2 π 45 ⋅ 2 cos 32 π 45 + 2 cos 32 π 45 ⋅ 2 cos 28 π 45 + 2 cos 28 π 45 ⋅ 2 cos 2 π 45 = − 3 2 cos 2 π 45 ⋅ 2 cos 32 π 45 ⋅ 2 cos 28 π 45 = 2 cos 2 π 15 = 1 + 5 + 30 − 6 5 4 {\displaystyle {\begin{aligned}&2\cos {\frac {2\pi }{45}}\cdot 2\cos {\frac {32\pi }{45}}+2\cos {\frac {32\pi }{45}}\cdot 2\cos {\frac {28\pi }{45}}+2\cos {\frac {28\pi }{45}}\cdot 2\cos {\frac {2\pi }{45}}=-3\\&2\cos {\frac {2\pi }{45}}\cdot 2\cos {\frac {32\pi }{45}}\cdot 2\cos {\frac {28\pi }{45}}=2\cos {\frac {2\pi }{15}}={\frac {1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}}{4}}\end{aligned}}} 解と係数の関係より u 3 − 3 u − 2 cos 2 π 15 = 0 {\displaystyle u^{3}-3u-2\cos {\frac {2\pi }{15}}=0} 三次方程式を解いて、整理すると cos ( 2 π / 45 ) {\displaystyle \cos(2\pi /45)} が求められる。 2 cos 2 π 45 = cos 2 π 15 + i sin 2 π 15 3 + cos 2 π 15 − i sin 2 π 15 3 4 cos 2 π 45 = 8 cos 2 π 15 + i 8 sin 2 π 15 3 + 8 cos 2 π 15 − i 8 sin 2 π 15 3 4 cos 2 π 45 = 1 + 5 + 30 − 6 5 + i ( 15 + 3 − 10 − 2 5 ) 3 + 1 + 5 + 30 − 6 5 − i ( 15 + 3 − 10 − 2 5 ) 3 cos 2 π 45 = 1 4 ( 1 + 5 + 30 − 6 5 + i ( 15 + 3 − 10 − 2 5 ) 3 + 1 + 5 + 30 − 6 5 − i ( 15 + 3 − 10 − 2 5 ) 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{45}}=&{\sqrt[{3}]{\cos {\frac {2\pi }{15}}+i\sin {\frac {2\pi }{15}}}}+{\sqrt[{3}]{\cos {\frac {2\pi }{15}}-i\sin {\frac {2\pi }{15}}}}\\4\cos {\frac {2\pi }{45}}=&{\sqrt[{3}]{8\cos {\frac {2\pi }{15}}+i8\sin {\frac {2\pi }{15}}}}+{\sqrt[{3}]{8\cos {\frac {2\pi }{15}}-i8\sin {\frac {2\pi }{15}}}}\\4\cos {\frac {2\pi }{45}}=&{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}+i\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)}}+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}-i\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)}}\\\cos {\frac {2\pi }{45}}=&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}+i\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)}}+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}-i\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)}}\right)\\\end{aligned}}}
※この「正四十五角形」の解説は、「四十五角形」の解説の一部です。
「正四十五角形」を含む「四十五角形」の記事については、「四十五角形」の概要を参照ください。
- 正四十五角形のページへのリンク
