正四十八角形
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/25 06:36 UTC 版)
正四十八角形においては、中心角と外角は7.5°で、内角は172.5°となる。一辺の長さが a の正四十八角形の面積 S は S = 48 4 a 2 cot π 48 ≃ 183.08462 a 2 {\displaystyle S={\frac {48}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{48}}\simeq 183.08462a^{2}} S = 12 a 2 cot π 48 = 12 a 2 ( 2 + 3 + 8 + 4 3 + 16 + 8 3 + 2 104 + 60 3 ) = 12 a 2 ( 2 + 3 + ( 6 + 2 ) + 16 + 8 3 + 10 2 + 6 6 ) = 12 a 2 ( 2 + 3 + ( 6 + 2 ) + 2 4 + 2 3 + 26 + 15 3 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}S&=12a^{2}\cot {\frac {\pi }{48}}\\&=12a^{2}\left(2+{\sqrt {3}}+{\sqrt {8+4{\sqrt {3}}}}+{\sqrt {16+8{\sqrt {3}}+2{\sqrt {104+60{\sqrt {3}}}}}}\right)\\&=12a^{2}\left(2+{\sqrt {3}}+({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})+{\sqrt {16+8{\sqrt {3}}+10{\sqrt {2}}+6{\sqrt {6}}}}\right)\\&=12a^{2}\left(2+{\sqrt {3}}+({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})+2{\sqrt {4+2{\sqrt {3}}+{\sqrt {26+15{\sqrt {3}}}}}}\right).\end{aligned}}} cos ( 2 π / 48 ) {\displaystyle \cos(2\pi /48)} を有理数と平方根で表すことが可能である。 cos 2 π 48 = cos π 24 = cos ( 7.5 ∘ ) = 1 2 2 + 2 + 3 = 1 4 8 + 2 6 + 2 2 {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{48}}=\cos {\frac {\pi }{24}}=\cos \left(7.5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {8+2{\sqrt {6}}+2{\sqrt {2}}}}}
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