正四十角形
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/22 06:50 UTC 版)
正四十角形においては、中心角と外角は9°で、内角は171°となる。一辺の長さが a の正四十角形の面積 S は S = 40 4 a 2 cot π 40 ≃ 127.06205 a 2 {\displaystyle S={\frac {40}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{40}}\simeq 127.06205a^{2}} S = 10 a 2 cot π 40 = 10 ( 1 + 5 + 5 + 2 5 + ( 1 + 5 + 5 + 2 5 ) 2 + 1 ) a 2 = 10 ( 1 + 5 + 5 + 2 5 + ( 1 + 5 ) 2 + ( 2 1 ) ( 1 + 5 ) 5 + 2 5 + ( 5 + 2 5 ) 2 + 1 ) a 2 = 10 ( 1 + 5 + 5 + 2 5 + ( 6 + ( 2 1 ) 5 ) + ( 2 1 ) ( 1 + 5 ) 5 + 2 5 + ( 5 + 2 5 ) + 1 ) a 2 = 10 ( 1 + 5 + 5 + 2 5 + ( 11 + 4 5 + ( 2 1 ) ( 1 + 5 ) 5 + 2 5 ) + 1 ) a 2 = 10 ( 1 + 5 + 5 + 2 5 + 12 + 4 5 + ( 2 1 ) ( 1 + 5 ) 5 + 2 5 ) a 2 {\displaystyle {\begin{aligned}S=10a^{2}\cot {\frac {\pi }{40}}=&10\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)^{2}+1}}\right)a^{2}\\=&10\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {\left(1+{\sqrt {5}}\right)^{2}+{\binom {2}{1}}\left(1+{\sqrt {5}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)^{2}+1}}\right)a^{2}\\=&10\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {\left(6+{\binom {2}{1}}{\sqrt {5}}\right)^{}+{\binom {2}{1}}\left(1+{\sqrt {5}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+\left(5+2{\sqrt {5}}\right)^{}+1}}\right)a^{2}\\=&10\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {\left(11+4{\sqrt {5}}+{\binom {2}{1}}\left(1+{\sqrt {5}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)+1}}\right)a^{2}\\=&10\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {12+4{\sqrt {5}}+{\binom {2}{1}}\left(1+{\sqrt {5}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}}\right)a^{2}\end{aligned}}} cos ( 2 π / 40 ) {\displaystyle \cos(2\pi /40)} を有理数と平方根で表すことが可能である。 cos 2 π 40 = cos π 20 = cos 9 ∘ = 1 2 2 + 5 + 5 2 {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{40}}=\cos {\frac {\pi }{20}}=\cos 9^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}}
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