定義で述べられている集合の図
数学 の多変数複素函数 の理論において、正則領域 （せいそくりょういき、英 : domain of holomorphy ）とは、その集合よりも大きい集合に拡張 出来ないような正則函数 がその集合上に存在するという意味において「極大」であるような集合である。
正式に言うと、n 次元複素空間
C
n
{\displaystyle {\mathbb {C} }^{n}}
Ω
{\displaystyle \Omega }
正則領域 であるとは、
Ω
{\displaystyle \Omega }
f
{\displaystyle f}
f
=
g
{\displaystyle f=g}
U
{\displaystyle U}
V
{\displaystyle V}
g
{\displaystyle g}
U
⊂
Ω
{\displaystyle U\subset \Omega }
連結 開集合
V
⊂
C
n
{\displaystyle V\subset {\mathbb {C} }^{n}}
V
⊄
Ω
{\displaystyle V\not \subset \Omega }
U
⊂
Ω
∩
V
{\displaystyle U\subset \Omega \cap V}
n
=
1
{\displaystyle n=1}
境界 上の至る所で集積 する零点を持つような正則函数を定義することが出来る。そのような境界はしたがって、逆函数の定義域に対する自然境界 でなければならない[要出典 。
n
≥
2
{\displaystyle n\geq 2}
ハルトークスの補題 によって、上述の主張は真にはならない。
領域
Ω
{\displaystyle \Omega }
Ω
{\displaystyle \Omega }
Ω
{\displaystyle \Omega }
正則凸
Ω
{\displaystyle \Omega }
擬凸
Ω
{\displaystyle \Omega }
レヴィ凸 。すなわち、ある集合
Γ
{\displaystyle \Gamma }
S
n
→
S
,
∂
S
n
→
Γ
{\displaystyle S_{n}\rightarrow S,\partial S_{n}\rightarrow \Gamma }
S
n
⊆
Ω
{\displaystyle S_{n}\subseteq \Omega }
S
⊆
Ω
{\displaystyle S\subseteq \Omega }
∂
Ω
{\displaystyle \partial \Omega }
Ω
{\displaystyle \Omega }
局所レヴィ性 を持つ。すなわち、すべての点
x
∈
∂
Ω
{\displaystyle x\in \partial \Omega }
x
{\displaystyle x}
U
{\displaystyle U}
U
∩
Ω
{\displaystyle U\cap \Omega }
f
{\displaystyle f}
x
{\displaystyle x}
関係
1
⇔
2
,
3
⇔
4
,
1
⇒
4
,
3
⇒
5
{\displaystyle 1\Leftrightarrow 2,3\Leftrightarrow 4,1\Rightarrow 4,3\Rightarrow 5}
1
⇒
3
{\displaystyle 1\Rightarrow 3}
岡の補題 を参照されたい。
5
⇒
1
{\displaystyle 5\Rightarrow 1}
エフジェニオ・エリア・レヴィ（英語版 ） (Eugenio Elia Levi)に因み）レヴィの問題と呼ばれ、岡潔 によって初めて解かれた。その後、ラース・ヘルマンダー は函数解析と偏微分方程式の手法を使ってその問題を解いた（
∂
¯
{\displaystyle {\bar {\partial }}}
（英語版 ）
Ω
1
,
…
,
Ω
n
{\displaystyle \Omega _{1},\dots ,\Omega _{n}}
Ω
=
⋂
j
=
1
n
Ω
j
{\textstyle \Omega =\bigcap _{j=1}^{n}\Omega _{j}}
Ω
1
⊆
Ω
2
⊆
…
{\displaystyle \Omega _{1}\subseteq \Omega _{2}\subseteq \dots }
Ω
=
⋃
n
=
1
∞
Ω
n
{\textstyle \Omega =\bigcup _{n=1}^{\infty }\Omega _{n}}
ベーンケ＝シュタインの定理 を参照）。正則領域
Ω
1
,
Ω
2
{\displaystyle \Omega _{1},\Omega _{2}}
Ω
=
Ω
1
×
Ω
2
{\displaystyle \Omega =\Omega _{1}\times \Omega _{2}}
クザンの第一問題 は正則領域において常に解くことが出来る。いくつかの位相空間論的な仮定の下では、クザンの第二問題も同様に正則領域において解くことが出来る。
Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables , AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.
Boris Vladimirovich Shabat, Introduction to Complex Analysis , AMS, 1992
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