正二十一角形
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/11 14:44 UTC 版)
正二十一角形においては、中心角と外角は17.142…°で、内角は162.857…°となる。一辺の長さが a の正二十一角形の面積 S は S = 21 4 a 2 cot π 21 ≃ 34.83147 a 2 {\displaystyle S={\frac {21}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{21}}\simeq 34.83147a^{2}} cos ( 2 π / 21 ) {\displaystyle \cos(2\pi /21)} を平方根と立方根で表すことが可能である。 cos 2 π 21 = cos ( 2 π 3 − 4 π 7 ) {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{21}}=\cos \left({\frac {2\pi }{3}}-{\frac {4\pi }{7}}\right)} Trigonometric constants expressed in real radicalsより cos 2 π 21 = 1 + 21 + 154 − 30 21 + ( 42 3 − 18 7 ) i 3 + 154 − 30 21 + ( 18 7 − 42 3 ) i 3 12 {\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{21}}={\frac {1+{\sqrt {21}}+{\sqrt[{3}]{154-30{\sqrt {21}}+\left(42{\sqrt {3}}-18{\sqrt {7}}\right)i}}+{\sqrt[{3}]{154-30{\sqrt {21}}+\left(18{\sqrt {7}}-42{\sqrt {3}}\right)i}}}{12}}} Σcos(2kπ/(2n+1))=-1/2の関係式から 2 cos 2 π 21 + 2 cos 4 π 21 + 2 cos 6 π 21 + 2 cos 8 π 21 + 2 cos 10 π 21 + 2 cos 12 π 21 + 2 cos 14 π 21 + 2 cos 16 π 21 + 2 cos 18 π 21 + 2 cos 20 π 21 = − 1 {\displaystyle 2\cos {\frac {2\pi }{21}}+2\cos {\frac {4\pi }{21}}+2\cos {\frac {6\pi }{21}}+2\cos {\frac {8\pi }{21}}+2\cos {\frac {10\pi }{21}}+2\cos {\frac {12\pi }{21}}+2\cos {\frac {14\pi }{21}}+2\cos {\frac {16\pi }{21}}+2\cos {\frac {18\pi }{21}}+2\cos {\frac {20\pi }{21}}=-1} ここで、以下の関係式を使って 2 cos 14 π 21 = 2 cos 2 π 3 = − 1 2 cos 6 π 21 + 2 cos 12 π 21 + 2 cos 18 π 21 = 2 cos 2 π 7 + 2 cos 4 π 7 + 2 cos 6 π 7 = − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&2\cos {\frac {14\pi }{21}}=2\cos {\frac {2\pi }{3}}=-1\,\\&2\cos {\frac {6\pi }{21}}+2\cos {\frac {12\pi }{21}}+2\cos {\frac {18\pi }{21}}=2\cos {\frac {2\pi }{7}}+2\cos {\frac {4\pi }{7}}+2\cos {\frac {6\pi }{7}}=-1\\\end{aligned}}} 整理すると 2 cos 2 π 21 + 2 cos 4 π 21 + 2 cos 8 π 21 + 2 cos 10 π 21 + 2 cos 16 π 21 + 2 cos 20 π 21 = 1 {\displaystyle 2\cos {\frac {2\pi }{21}}+2\cos {\frac {4\pi }{21}}+2\cos {\frac {8\pi }{21}}+2\cos {\frac {10\pi }{21}}+2\cos {\frac {16\pi }{21}}+2\cos {\frac {20\pi }{21}}=1} 以下のように定義すると α = 2 cos 2 π 21 + 2 cos 8 π 21 + 2 cos 10 π 21 β = 2 cos 4 π 21 + 2 cos 16 π 21 + 2 cos 20 π 21 {\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha =2\cos {\frac {2\pi }{21}}+2\cos {\frac {8\pi }{21}}+2\cos {\frac {10\pi }{21}}\\&\beta =2\cos {\frac {4\pi }{21}}+2\cos {\frac {16\pi }{21}}+2\cos {\frac {20\pi }{21}}\end{aligned}}} 以下の値が求められる。 α + β = 1 ( α − β ) 2 = 21 α − β = 21 {\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha +\beta =1\,\\&(\alpha -\beta )^{2}=21\\&\alpha -\beta ={\sqrt {21}}\\\end{aligned}}} 解と係数の関係を求め、三次方程式を解くことにより cos ( 2 π / 21 ) {\displaystyle \cos(2\pi /21)} が求められる。
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