期待生存期間の公式の証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/07 21:20 UTC 版)
「生存関数」の記事における「期待生存期間の公式の証明」の解説
確率変数 T ∈ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle T\in [0,\infty )} の期待値は、次のように定義される。 E ( T ) = ∫ 0 ∞ t f ( t ) d t {\displaystyle \mathbb {E} (T)=\int _{0}^{\infty }tf(t)dt} ここで、 f ( t ) {\displaystyle f(t)} は確率密度関数である。また、 f ( t ) = − S ′ ( t ) {\displaystyle f(t)=-S'(t)} の関係を用いて、期待値の式を変形できる。 E ( T ) = − ∫ 0 ∞ t S ′ ( t ) d t {\displaystyle \mathbb {E} (T)=-\int _{0}^{\infty }tS'(t)dt} これをさらに簡略化するには、部分積分を用いるとよい。 − ∫ 0 ∞ t S ′ ( t ) d t = − t S ( t ) | 0 ∞ + ∫ 0 ∞ S ( t ) d t {\displaystyle -\int _{0}^{\infty }tS'(t)dt=-tS(t){\bigg |}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }S(t)dt} 定義により、 S ( ∞ ) = 0 {\displaystyle S(\infty )=0} であり、境界項はまったく0に等しいことを意味する。したがって、期待値は単に生存関数の積分であると結論づけることができる。 E ( T ) = ∫ 0 ∞ S ( t ) d t {\displaystyle \mathbb {E} (T)=\int _{0}^{\infty }S(t)dt}
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