数演算子と交換するハミルトニアン
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/08/07 21:32 UTC 版)
「フォック状態」の記事における「数演算子と交換するハミルトニアン」の解説
各モード間の相互作用が無い系を考える。この系の全ハミルトニアン H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} は、各モードのハミルトニアン H ^ i {\displaystyle {\hat {H}}_{i}} の和で表される。 H ^ = ∑ i H ^ i {\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{i}{\hat {H}}_{i}} 全ハミルトニアンと全数演算子は交換する。よって多重モードフォック状態は多重モードハミルトニアンの固有状態でもある（同時固有状態）。 H ^ | n 1 , n 2 , ⋯ , n i , ⋯ ⟩ = ( ∑ i ℏ ω ( n i + 1 2 ) ) | n 1 , n 2 , ⋯ , n i , ⋯ ⟩ {\displaystyle {\hat {H}}|n_{1},n_{2},\cdots ,n_{i},\cdots \rangle =\left(\sum _{i}\hbar \omega \left(n_{i}+{\frac {1}{2}}\right)\right)|n_{1},n_{2},\cdots ,n_{i},\cdots \rangle } 各モードで考えると、モード i {\displaystyle i} のハミルトニアン H ^ i {\displaystyle {\hat {H}}_{i}} の固有状態は、粒子数演算子 N ^ i {\displaystyle {\hat {N}}_{i}} の固有状態にもなっている（厳密にはさらに位相因子を選択しなければならない）。 ここで粒子的な解釈を行うことで、 N ^ i {\displaystyle {\hat {N}}_{i}} の固有状態に対応する固有値 n i {\displaystyle n_{i}} は、モード i {\displaystyle i} のハミルトニアン H ^ i {\displaystyle {\hat {H}}_{i}} の n {\displaystyle n} 番目の固有状態 | ψ n ⟩ {\displaystyle |\psi _{n}\rangle } における粒子数を与える。
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