抽象的添字とテンソル空間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/06/06 06:15 UTC 版)
「抽象添字記法」の記事における「抽象的添字とテンソル空間」の解説
一般の同次テンソルは、V と V∗ のコピーのテンソル積の元 V ⊗ V ∗ ⊗ V ∗ ⊗ V ⊗ V ∗ {\displaystyle V\otimes V^{\ast }\otimes V^{\ast }\otimes V\otimes V^{\ast }} である。 このテンソル積の各々の要素を上にあるラテン文字は、上は V に共変な位置を示し、下は V に反変な位置を示したラベル付けを行う。このように積を、 V a V b V c V d V e {\displaystyle V^{a}V_{b}V_{c}V^{d}V_{e}\,} と書く、あるいは、単純に、 V a b c d e . {\displaystyle {{{V^{a}}_{bc}}^{d}}_{e}.} と書く。 最後の 2つの表し方は最初に書いたことと同じ対象を表していることが重要である。このタイプのテンソルを同じような種類の記法でも書くことができる。たとえば、次のような記法もある。 h a b c d e ∈ V a b c d e = V ⊗ V ∗ ⊗ V ∗ ⊗ V ⊗ V ∗ . {\displaystyle {{{h^{a}}_{bc}}^{d}}_{e}\in {{{V^{a}}_{bc}}^{d}}_{e}=V\otimes V^{\ast }\otimes V^{\ast }\otimes V\otimes V^{\ast }.}
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