実2次正方行列の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/05/16 18:34 UTC 版)
行列 ( a b c d ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}} が冪等であるならば、 a = a 2 + b c {\displaystyle a=a^{2}+bc} b = a b + b d {\displaystyle b=ab+bd} より b ( 1 − a − d ) = 0 {\displaystyle b(1-a-d)=0} , よって b = 0 {\displaystyle b=0} または d = 1 − a {\displaystyle d=1-a} c = c a + c d {\displaystyle c=ca+cd} より c ( 1 − a − d ) = 0 {\displaystyle c(1-a-d)=0} , よって c = 0 {\displaystyle c=0} または d = 1 − a {\displaystyle d=1-a} d = b c + d 2 {\displaystyle d=bc+d^{2}} よって、実2次正方行列が冪等であるならば、行列が対角行列であるか、または行列の跡が 1 に等しい。対角行列であるとき、a および d はそれぞれ 1 または 0 のいずれかでなければならないことに注意する。 b = c {\displaystyle b=c} のとき、行列 ( a b b 1 − a ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}} は a 2 + b 2 = a {\displaystyle a^{2}+b^{2}=a} 、よって a が二次方程式 a 2 − a + b 2 = 0 , ( a − 1 2 ) 2 + b 2 = 1 4 {\displaystyle a^{2}-a+b^{2}=0,\quad \left(a-{\frac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}={\frac {1}{4}}} を満たすならば冪等である。この方程式は中心 (1/2, 0)、半径 1/2 の円を表す。角度 θ を用いて書けば、行列 A = 1 2 ( 1 − cos θ sin θ sin θ 1 + cos θ ) {\displaystyle A={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1-\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &1+\cos \theta \end{pmatrix}}} は冪等である。 b = c {\displaystyle b=c} は必要条件ではなく、 a 2 + b c = a {\displaystyle a^{2}+bc=a} である任意の行列 ( a b c 1 − a ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&1-a\end{pmatrix}}} は冪等である。
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