固定した時空の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/16 10:15 UTC 版)
「位相的場の理論」の記事における「固定した時空の場合」の解説
B o r d M {\displaystyle Bord_{M}} を、射(morphism)が M の n 次元部分多様体であり、対象がそのような部分多様体の境界の連結な成分であるようなカテゴリとする。M の部分多様体を通してホモトピックであれば、2つの射は同値とみなし、そのことにより商カテゴリを h B o r d M {\displaystyle hBord_{M}} とすると、 h B o r d M {\displaystyle hBord_{M}} の対象(object)は B o r d M {\displaystyle Bord_{M}} の対象となり、 h B o r d M {\displaystyle hBord_{M}} の射は B o r d M {\displaystyle Bord_{M}} の射のホモトピー同値類である。M の位相的場の理論とは、 h B o r d M {\displaystyle hBord_{M}} からベクトル空間のカテゴリへの対称モノイダル函手（英語版）である。 もし、境界が一致するのであれば、コボルディズムは互いに縫い合わせて、新しいボルディズムを生成することに注意すると、コボルディズムのカテゴリの射の合成律であることが分かる。合成律を保持することが函手には要求されるので、互いに縫い合わせた射に対応する線型写像は、まさに各々の部品の線型写像の合成に他ならない。 2次元の位相的場の理論のカテゴリと可換なフロベニウス代数のカテゴリの間にはカテゴリ同値（英語版）がある。
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