周波数の時間発展（インハーモニック形式）
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/20 09:49 UTC 版)
「アディティブ・シンセシス」の記事における「周波数の時間発展（インハーモニック形式）」の解説
周波数が時間発展する場合、各パーシャルの周波数 f k {\displaystyle f_{k}\,} を瞬時周波数（英語版） f k ( t ) {\displaystyle f_{k}(t)\,} へと拡張して扱う必要がある。 周波数が時間発展しない k {\displaystyle k\,} 次パーシャルの表式は： x k ( t ) = r k ( t ) cos ( 2 π f k ⋅ t + ϕ k ) = r k ( t ) cos ( θ k ( t ) ) {\displaystyle x_{k}(t)=r_{k}(t)\cos(2\pi f_{k}\cdot t+\phi _{k})=r_{k}(t)\cos(\theta _{k}(t))\,} ここで θ k {\displaystyle \theta _{k}} は瞬時位相（英語版）であり、上記表式の解析信号（英語版） x a ( t ) {\displaystyle x_{a}(t)\,} の偏角[要曖昧さ回避]で与えられる： θ k ( t ) = arg ( x a ( t ) ) = 2 π f k ⋅ t + ϕ k , θ k ( 0 ) = ϕ k {\displaystyle \theta _{k}(t)=\arg(x_{a}(t))=2\pi f_{k}\cdot t+\phi _{k}\ ,\quad \theta _{k}(0)=\phi _{k}\,} 瞬時周波数 f k ( t ) {\displaystyle f_{k}(t)} は、瞬時位相の時間微分で与えられる： f k ( t ) = 1 2 π d θ k ( t ) d t {\displaystyle f_{k}(t)={\frac {1}{2\pi }}{\frac {d\theta _{k}(t)}{dt}}} 周波数が時間発展する瞬時位相は、瞬時周波数で再定義して θ k ( t ) = 2 π ∫ 0 t f k ( u ) d u + ϕ k , f k ( t ) > 0 {\displaystyle \theta _{k}(t)=2\pi \int _{0}^{t}f_{k}(u)du+\phi _{k}\ ,\quad f_{k}(t)>0} 以上より、最も一般的なアディティブ・シンセシスの表式は、与えられた瞬時周波数 f k ( t ) {\displaystyle f_{k}(t)\,} を使って下記のように表現される： y ( t ) = ∑ k = 1 K r k ( t ) cos ( 2 π ∫ 0 t f k ( u ) d u + ϕ k ) , f k ( t ) > 0 {\displaystyle y(t)=\sum _{k=1}^{K}r_{k}(t)\cos \left(2\pi \int _{0}^{t}f_{k}(u)\ du+\phi _{k}\right),\quad f_{k}(t)>0} (3)
※この「周波数の時間発展（インハーモニック形式）」の解説は、「アディティブ・シンセシス」の解説の一部です。
「周波数の時間発展（インハーモニック形式）」を含む「アディティブ・シンセシス」の記事については、「アディティブ・シンセシス」の概要を参照ください。
- 周波数の時間発展のページへのリンク
