加比の理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/11 08:21 UTC 版)
2つの分数が等しい場合 b a = d c ( b × c = a × d ) {\displaystyle {b \over a}={d \over c}\quad (b\times c=a\times d)} に分数 b + d/a + c について、1 = c/c を掛けて、分子について分配法則を用いれば、 b + d a + c = b + d a + c × c c = b × c + d × c ( a + c ) × c = a × d + d × c ( a + c ) × c = ( a + c ) × d ( a + c ) × c = d c {\displaystyle {\begin{aligned}{b+d \over a+c}&={b+d \over a+c}\times {c \over c}={b\times c+d\times c \over (a+c)\times c}\\&={a\times d+d\times c \over (a+c)\times c}={(a+c)\times d \over (a+c)\times c}={d \over c}\end{aligned}}} と変形できる。従って、a + c ≠ 0 の場合に b a = d c = b + d a + c {\displaystyle {b \over a}={d \over c}={b+d \over a+c}} という等式が成り立つ。これを加比の理（かひのり）という。 この式からさらに 0 でない数 p, q が a × p + c × q ≠ 0 を満たすとき b a = d c {\displaystyle {b \over a}={d \over c}} ならば b a = d c = b × p a × p = d × q c × q = b × p + d × q a × p + c × q {\displaystyle {b \over a}={d \over c}={b\times p \over a\times p}={d\times q \over c\times q}={b\times p+d\times q \over a\times p+c\times q}} となる。 同様に、2つの分数について不等式 b a ≤ d c ( b × c ≤ d × a ) {\displaystyle {b \over a}\leq {d \over c}\quad \left(b\times c\leq d\times a\right)} が成り立つ場合、a × c > 0 なら、 b × c ≤ d × a {\displaystyle b\times c\leq d\times a} という不等式が成り立つ。a + c ≠ 0 ならば、分数 b + d/a + c について、1 = c/c を掛ければ、 b + d a + c = b × c + d × c ( a + c ) × c ≤ a × d + d × c ( a + c ) × c = ( a + c ) × d ( a + c ) × c = d c {\displaystyle {\begin{aligned}{b+d \over a+c}&={b\times c+d\times c \over (a+c)\times c}\\&\leq {a\times d+d\times c \over (a+c)\times c}={(a+c)\times d \over (a+c)\times c}={d \over c}\end{aligned}}} という不等式が得られ、また、1 = a/a を掛ければ、 b + d a + c = b × a + d × a ( a + c ) × a ≥ b × a + b × c ( a + c ) × a = ( a + c ) × b ( a + c ) × a = b a {\displaystyle {\begin{aligned}{b+d \over a+c}&={b\times a+d\times a \over (a+c)\times a}\\&\geq {b\times a+b\times c \over (a+c)\times a}={(a+c)\times b \over (a+c)\times a}={b \over a}\end{aligned}}} という不等式が得られる。従って次の不等式が成り立つ。 b a ≤ b + d a + c ≤ d c , d × a − b × c ≥ 0. {\displaystyle {b \over a}\,\leq \,{b+d \over a+c}\,\leq \,{d \over c},\quad d\times a-b\times c\geq 0.}
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