力の平行四辺形の代数的証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/22 05:09 UTC 版)
「力の平行四辺形」の記事における「力の平行四辺形の代数的証明」の解説
力をユークリッドベクトルもしくは R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} の要素としてモデル化する。最初の仮定は2つの力の合力が実際には別の力であるというものである。そのため、2つの力 F , G ∈ R 2 {\displaystyle \mathbf {F} ,\mathbf {G} \in \mathbb {R} ^{2}} には、別の力 F ⊕ G ∈ R 2 {\displaystyle \mathbf {F} \oplus \mathbf {G} \in \mathbb {R} ^{2}} が存在する。可換性を仮定する。これらは同時に加えられる力なので、順序は重要ではなく、 F ⊕ G = G ⊕ F {\displaystyle \mathbf {F} \oplus \mathbf {G} =\mathbf {G} \oplus \mathbf {F} } である。 写像 ( a , b ) = a e 1 + b e 2 ↦ a e 1 ⊕ b e 2 {\displaystyle (a,b)=a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2}\mapsto a\mathbf {e} _{1}\oplus b\mathbf {e} _{2}} を考える。 ⊕ {\displaystyle \oplus } が結合的であるならば、この写像は線形である。 e 1 {\displaystyle \mathbf {e} _{1}} を e 1 {\displaystyle \mathbf {e} _{1}} に、 e 2 {\displaystyle \mathbf {e} _{2}} を e 2 {\displaystyle \mathbf {e} _{2}} に写すため、恒等写像である必要もある。よって ⊕ {\displaystyle \oplus } は通常のベクトル加算演算子と同等でなければならない。
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