内部、閉包の性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/04 05:30 UTC 版)
内部および閉包は以下のようにも特徴づけられる事が知られている： 命題 (内部および閉包の特徴づけ) ― 位相空間 ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} の任意の部分集合Aに対し次が成立する： A ∘ {\displaystyle A^{\circ }} はAに含まれる最大の開集合 ⋃ O ∈ O , O ⊂ A O {\displaystyle \bigcup _{O\in {\mathcal {O}},O\subset A}O} に一致する。 A ¯ {\displaystyle {\bar {A}}} はAを含む最小の閉集合 ⋂ F ∈ F , A ⊂ F F {\displaystyle \bigcap _{F\in {\mathcal {F}},A\subset F}F} に一致する。 内部の概念は以下を満たす： 定理 (内部の性質) ― 位相空間Xの任意の部分集合A、Bに対し、以下が成立する： A ∘ ⊂ A {\displaystyle A^{\circ }\subset A} ( A ∘ ) ∘ = A ∘ {\displaystyle (A^{\circ })^{\circ }=A^{\circ }} ( A ∩ B ) ∘ = A ∘ ∩ B ∘ {\displaystyle (A\cap B)^{\circ }=A^{\circ }\cap B^{\circ }} X ∘ = X {\displaystyle X^{\circ }=X} A ¯ = ( ( A c ) ∘ ) c {\displaystyle {\bar {A}}=((A^{c})^{\circ })^{c}} である事を用いて、以上で述べた内部に関する結果をド・モルガンの法則により閉包の結果に翻訳できる： 定理 (クラトウスキイの公理系) ― 位相空間Xの任意の部分集合A、Bに対し、以下が成立する： A ⊂ A ¯ {\displaystyle A\subset {\overline {A}}} A ¯ ¯ = A ¯ {\displaystyle {\overline {\overline {A}}}={\overline {A}}} A ∪ B ¯ = A ¯ ∪ B ¯ {\displaystyle {\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}} ∅ ¯ = ∅ {\displaystyle {\overline {\emptyset }}=\emptyset }
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