中心線 (幾何学)とは? わかりやすく解説

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中心線 (幾何学)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/11/25 21:35 UTC 版)

幾何学において, 中心線[訳語疑問点](ちゅうしんせん、: Central lines)とは三角形に対して一意に決まる直線の総称である。中心線はほとんどの場合、三線座標によってあらわすことができる。中心線は三角形の中心とも密接にかかわっている。中心線の概要は1994年のクラーク・キンバーリング英語版の論文でまとめられた[1][2]

定義

ABC に対する三線座標x : y : zを用いて、平面上の直線は以下の様に書ける。

ABCと点Xについて、中心線は以下の様に定義される。

  • YXの等角共役点とする。AY, BY, CYは直線 AX, BX, CXA, B, C角の二等分線で鏡映した線(等角共役線)である。
  • ABCと点Yに対するチェバ線AY, BY, CYBC, CA, ABの交点A', B', C'でチェバ三角形A'B'C' を作る。
  • ABCA'B'C' Yを中心とし配景なのでデザルグの定理が成り立つ。
  • この配景の軸DEFY三線極線X中心線と言う。

著名な中心線

クラーク・キンバーリングの「Encyclopedia of Triangle Centers」における点Xnに対する中心線はLnと表記される。

ABC とその傍心三角形の配景の軸、反垂軸

内心の中心線:反垂軸

内心 X1 = 1 : 1 : 1 (またはI )の中心線は、反垂軸(Antiorthic axis)と呼ばれ、以下の式で表される。

重心の中心線:ルモワーヌ軸

ABC重心X2(またはG)の三線座標は以下の様に与えられる。

外心X3(またはO)の三線座標は以下の様に与えられる。

垂心 X4(またはH)の三線座標は以下の様に与えられる。

九点円の中心X5(またはN)の三線座標は以下の式で与えられる。

類似重心 X6(または K)の三線座標は以下の式で与えられる。




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