不動点反復法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/12/10 02:49 UTC 版)
「反復法 (数値計算)」の記事における「不動点反復法」の解説
上記アルゴリズムでは、i +1 回目の近似解 xi+1 は直前の近似解 xi のみの関数であるが、これを一般化した不動点反復法または l 点反復法は x i + 1 = g ( x i , x i − 1 , … , x i − l + 1 ) , l ≥ 1 {\displaystyle x_{i+1}=g(x_{i},x_{i-1},\ldots ,x_{i-l+1}),\qquad l\geq 1} という形で表される。ニュートン法は l = 1、割線法は l = 2 の場合である。反復関数 g は f (α) = 0 を満たす真の解 α に対し g ( α , α , … , α ) = α {\displaystyle g(\alpha ,\alpha ,\ldots ,\alpha )=\alpha } を満たす。このことから α は g の不動点 (英: Fixed point) と呼ばれる。 l = 1 の場合、この反復法の収束性についての十分条件として、次の不動点定理が成り立つ：不動点反復法 x i + 1 = g ( x i ) {\displaystyle x_{i+1}=g(x_{i})} は、反復関数 g が以下の条件を満たすとき唯一の不動点 α に収束する。 g(x) は区間 I = [a, b] で連続。 すべての x ∈ I に対して g(x) ∈ I。 すべての x, y ∈ I, x ≠ y に対して | g ( x ) − g ( y ) | < L | x − y | {\displaystyle |g(x)-g(y)|<L|x-y|} を満たす、x, y に無関係な定数 L (0 ≦ L < 1) が存在する。 不動点定理の条件が成り立つならば、適当な初期値 x0 ∈ I を選んで反復計算を行うと、xi は区間 I 内に唯一つ存在する不動点 α に収束することが示せる。
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