一般化の証明とは? わかりやすく解説

一般化の証明

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/01/01 00:40 UTC 版)

メビウスの反転公式」の記事における「一般化の証明」の解説

最初一般化次のように証明できるIverson's convention を使う。これは [条件] がその条件指示関数、つまり、条件が真であれば 1 で偽であれば 0 であるよう関数を表すというものである次の結果を使う。 ∑ d | n μ ( d ) = ε ( n ) {\displaystyle \sum _{d|n}\mu (d)=\varepsilon (n)} , つまり、1*μ = ε。 すると以下のようになる。 ∑ 1 ≤ n ≤ x μ ( n ) g ( x n ) = ∑ 1 ≤ n ≤ x μ ( n ) ∑ 1 ≤ m ≤ x / n f ( x m n ) = ∑ 1 ≤ n ≤ x μ ( n ) ∑ 1 ≤ m ≤ x / n ∑ 1 ≤ r ≤ x [ r = m n ] f ( x r ) = ∑ 1 ≤ r ≤ x f ( x r ) ∑ 1 ≤ n ≤ x μ ( n ) ∑ 1 ≤ m ≤ x / n [ m = r / n ] rearranging the summation order = ∑ 1 ≤ r ≤ x f ( x r ) ∑ n | r μ ( n ) = ∑ 1 ≤ r ≤ x f ( x r ) ε ( r ) = f ( x ) since  ε ( r ) = 0  except when  r = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{1\leq n\leq x}\mu (n)g\left({\frac {x}{n}}\right)&=\sum _{1\leq n\leq x}\mu (n)\sum _{1\leq m\leq x/n}f\left({\frac {x}{mn}}\right)\\&=\sum _{1\leq n\leq x}\mu (n)\sum _{1\leq m\leq x/n}\sum _{1\leq r\leq x}[r=mn]f\left({\frac {x}{r}}\right)\\&=\sum _{1\leq r\leq x}f\left({\frac {x}{r}}\right)\sum _{1\leq n\leq x}\mu (n)\sum _{1\leq m\leq x/n}[m=r/n]\qquad {\text{rearranging the summation order}}\\&=\sum _{1\leq r\leq x}f\left({\frac {x}{r}}\right)\sum _{n|r}\mu (n)\\&=\sum _{1\leq r\leq x}f\left({\frac {x}{r}}\right)\varepsilon (r)\\&=f(x)\qquad {\text{since }}\varepsilon (r)=0{\text{ except when }}r=1\end{aligned}}} 二つ目一般化では α(n) が 1 に取って代わるが、証明本質的に同一である。

※この「一般化の証明」の解説は、「メビウスの反転公式」の解説の一部です。
「一般化の証明」を含む「メビウスの反転公式」の記事については、「メビウスの反転公式」の概要を参照ください。

ウィキペディア小見出し辞書の「一般化の証明」の項目はプログラムで機械的に意味や本文を生成しているため、不適切な項目が含まれていることもあります。ご了承くださいませ。 お問い合わせ



英和和英テキスト翻訳>> Weblio翻訳
英語⇒日本語日本語⇒英語
  

辞書ショートカット

すべての辞書の索引

「一般化の証明」の関連用語

一般化の証明のお隣キーワード
検索ランキング

   

英語⇒日本語
日本語⇒英語
   



一般化の証明のページの著作権
Weblio 辞書 情報提供元は 参加元一覧 にて確認できます。

   
ウィキペディアウィキペディア
Text is available under GNU Free Documentation License (GFDL).
Weblio辞書に掲載されている「ウィキペディア小見出し辞書」の記事は、Wikipediaのメビウスの反転公式 (改訂履歴)の記事を複製、再配布したものにあたり、GNU Free Documentation Licenseというライセンスの下で提供されています。

©2025 GRAS Group, Inc.RSS