ヴァイルの定理 (幾何学)
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幾何学において、ヴァイルの定理(ヴァイルのていり、英:Weill's theorem)とは、多角形の外接円と内接円に関する定理である[1][2][3]。ジョゼフ・リウヴィルの雑誌『Journal de Mathématiques Pures et Appliquées』で1878年、ヴァイル(Weill)が証明した[4][5][註 1]。書籍によっては、ワイルの定理、ウェイルの定理とも書かれている[6][7][8]。
定理
nを3以上の整数とする。ポンスレの閉形定理によれば、ある2円を外接円、内接円とするn角形が一つあれば、そのようなn角形は無数に存在する[9]。このとき、n角形の辺と内接円の接点が成す多角形の幾何中心は一定である。これをヴァイルの定理と言う。また、その点はヴァイル点(Weill point)と呼ばれる。
1888年、ジョン・ケイシーはn個の接点のうちm個(mは、n≧m>0を満たす整数)の点の幾何中心の軌跡は定円であることを発見した[2]。ヴァイル点はn=mの場合である。
三角形のヴァイル点
三角形のヴァイル点は、接触三角形の重心として定義される(三角形の重心は幾何中心と一致する)[10]。Encyclopedia of Triangle centersでは三角形の中心としてX(354)に登録されている。ヴァイル点WはOI線上に存在し、ヴァイル点と外心は、内心を
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