ワン（Wang）列
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/19 09:14 UTC 版)
「スペクトル系列」の記事における「ワン（Wang）列」の解説
前節での計算は簡単に一般化できる。n を2以上の整数とし、球面上のファイブレーション（英語版） F → i E → p S n {\displaystyle F{\overset {i}{\to }}E{\overset {p}{\to }}S^{n}} を考える。このとき、セール・スペクトル系列（英語版） E p , q 2 = H p ( S n ; H q ( F ) ) ⇒ H p + q ( E ) {\displaystyle E_{p,q}^{2}=H_{p}(S^{n};H_{q}(F))\Rightarrow H_{p+q}(E)} がある。つまり、あるフィルトレーション F ∙ {\displaystyle F_{\bullet }} があって、 E p , q ∞ = F p H p + q ( E ) / F p − 1 H p + q ( E ) {\displaystyle E_{p,q}^{\infty }=F_{p}H_{p+q}(E)/F_{p-1}H_{p+q}(E)} となっている。 H p ( S n ) {\displaystyle H_{p}(S^{n})} がゼロではないのは p が0もしくは n の場合だけで、その場合は Z に等しいから、 E p , q 2 {\displaystyle E_{p,q}^{2}} は p = 0 , n {\displaystyle p=0,n} のところだけからなる2つの直線になっている。したがって E 2 {\displaystyle E^{2}} ページは ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ 0 E 0 , 2 2 0 ⋯ 0 E n , 2 2 0 ⋯ ⋯ 0 E 0 , 1 2 0 ⋯ 0 E n , 1 2 0 ⋯ ⋯ 0 E 0 , 0 2 0 ⋯ 0 E n , 0 2 0 ⋯ {\displaystyle {\begin{matrix}&\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots &\vdots &\\\cdots &0&E_{0,2}^{2}&0&\cdots &0&E_{n,2}^{2}&0&\cdots \\\cdots &0&E_{0,1}^{2}&0&\cdots &0&E_{n,1}^{2}&0&\cdots \\\cdots &0&E_{0,0}^{2}&0&\cdots &0&E_{n,0}^{2}&0&\cdots \\\end{matrix}}} という形をしている。さらに、 p = 0 , n {\displaystyle p=0,n} に対して、普遍係数定理により E p , q 2 = H p ( S n ; H q ( F ) ) = H q ( F ) {\displaystyle E_{p,q}^{2}=H_{p}(S^{n};H_{q}(F))=H_{q}(F)} であるから、 E 2 {\displaystyle E^{2}} ページは ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ 0 H 2 ( F ) 0 ⋯ 0 H 2 ( F ) 0 ⋯ ⋯ 0 H 1 ( F ) 0 ⋯ 0 H 1 ( F ) 0 ⋯ ⋯ 0 H 0 ( F ) 0 ⋯ 0 H 0 ( F ) 0 ⋯ {\displaystyle {\begin{matrix}&\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots &\vdots &\\\cdots &0&H_{2}(F)&0&\cdots &0&H_{2}(F)&0&\cdots \\\cdots &0&H_{1}(F)&0&\cdots &0&H_{1}(F)&0&\cdots \\\cdots &0&H_{0}(F)&0&\cdots &0&H_{0}(F)&0&\cdots \\\end{matrix}}} と書ける。ゼロではない微分は E n {\displaystyle E^{n}} ページの d n , q n : E n , q n → E 0 , q + n − 1 n {\displaystyle d_{n,q}^{n}:E_{n,q}^{n}\to E_{0,q+n-1}^{n}} だけであり、これは d n , q n : H q ( F ) → H q + n − 1 ( F ) {\displaystyle d_{n,q}^{n}:H_{q}(F)\to H_{q+n-1}(F)} であるから、このスペクトル系列は E n + 1 = E ∞ {\displaystyle E^{n+1}=E^{\infty }} で収束する。 E n + 1 {\displaystyle E^{n+1}} を計算して、完全系列 0 → E n , q − n ∞ → E n , q − n n → d E 0 , q − 1 n → E 0 , q − 1 ∞ → 0. {\displaystyle 0\to E_{n,q-n}^{\infty }\to E_{n,q-n}^{n}{\overset {d}{\to }}E_{0,q-1}^{n}\to E_{0,q-1}^{\infty }\to 0.} を得る。これをホモロジー群で書き直すと 0 → E n , q − n ∞ → H q − n ( F ) → d H q − 1 ( F ) → E 0 , q − 1 ∞ → 0 {\displaystyle 0\to E_{n,q-n}^{\infty }\to H_{q-n}(F){\overset {d}{\to }}H_{q-1}(F)\to E_{0,q-1}^{\infty }\to 0} となる。これに出てくる2つの E ∞ {\displaystyle E^{\infty }} 項が何かを考える。 H = H ( E ) {\displaystyle H=H(E)} と置くと、 F 1 H q / F 0 H q = E 1 , q − 1 ∞ = 0 {\displaystyle F_{1}H_{q}/F_{0}H_{q}=E_{1,q-1}^{\infty }=0} などが成り立っているので、 E n , q − n ∞ = F n H q / F 0 H q {\displaystyle E_{n,q-n}^{\infty }=F_{n}H_{q}/F_{0}H_{q}} がわかる。これから、 F n H q = H q {\displaystyle F_{n}H_{q}=H_{q}} であるから、 0 → E 0 , q ∞ → H q → E n , q − n ∞ → 0 {\displaystyle 0\to E_{0,q}^{\infty }\to H_{q}\to E_{n,q-n}^{\infty }\to 0} となる。これは完全系列 0 → H q ( F ) → H q ( E ) → H q − n ( F ) → 0 {\displaystyle 0\to H_{q}(F)\to H_{q}(E)\to H_{q-n}(F)\to 0} である。以上の計算を全てまとめると、 ⋯ → H q ( F ) → i ∗ H q ( E ) → H q − n ( F ) → d H q − 1 ( F ) → i ∗ H q − 1 ( E ) → H q − n − 1 ( F ) → … {\displaystyle \dots \to H_{q}(F){\overset {i_{*}}{\to }}H_{q}(E)\to H_{q-n}(F){\overset {d}{\to }}H_{q-1}(F){\overset {i_{*}}{\to }}H_{q-1}(E)\to H_{q-n-1}(F)\to \dots } がわかった。（ギシン列（英語版） も同じ方法で得られる。）
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