リース・フィッシャーの定理

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リース＝フィッシャーの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/10/15 01:39 UTC 版)

数学の実解析の分野におけるリース＝フィッシャーの定理（リース＝フィッシャーのていり、英: Riesz–Fischer theorem）は、自乗可積分函数からなる L² 空間の性質に関する、いくつかの密接に関連する結果である。1907年にリース・フリジェシュとエルンスト・シグムンド・フィッシャー（英語版）によってそれぞれ独自に証明された。

多くの研究者にとって、リース＝フィッシャーの定理とは、ルベーグ積分の理論による L^p 空間が完備であるという事実を指す。

近年の定理の形式

この定理の最もよくある形式のものは、[–π, π] 上の可測函数が自乗可積分であるための必要十分条件は、対応するフーリエ級数が L² の意味で収束することである。すなわち、自乗可積分函数 f に対応するフーリエ級数の第 N 部分和が

${\displaystyle S_{N}f(x)=\sum _{n=-N}^{N}F_{n}\,\mathrm {e} ^{inx},}$

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• Beals, Richard (2004), Analysis: An Introduction, New York: Cambridge University Press, ISBN 0-521-60047-2 .
• Dunford, N.; Schwartz, J.T. (1958), Linear operators, Part I, Wiley-Interscience .
• Fischer, Ernst (1907), “Sur la convergence en moyenne”, Comptes rendus de l'Académie des sciences 144: 1022–1024 .
• Riesz, Frigyes (1907), “Sur les systèmes orthogonaux de fonctions”, Comptes rendus de l'Académie des sciences 144: 615–619 .