マートンのポートフォリオ問題の解
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/01/26 14:12 UTC 版)
「マートンのポートフォリオ問題」の記事における「マートンのポートフォリオ問題の解」の解説
標準的な仮定の下で、マートンのポートフォリオ問題の価値関数 V ( t , x ) {\displaystyle V(t,x)} は以下のハミルトン＝ヤコビ＝ベルマン方程式の解となる。 ∂ V ( t , x ) ∂ t + sup α t , c t { ( ( ( μ − r ) α t + r ) x − c t ) ∂ V ( t , x ) ∂ x + 1 2 α t 2 σ 2 x 2 ∂ 2 V ( t , x ) ∂ x 2 + e − ρ t u ( c t ) } = 0 {\displaystyle {\frac {\partial V(t,x)}{\partial t}}+\sup _{\alpha _{t},c_{t}}\left\{{\Big (}((\mu -r)\alpha _{t}+r)x-c_{t}{\Big )}{\frac {\partial V(t,x)}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}\alpha _{t}^{2}\sigma ^{2}x^{2}{\frac {\partial ^{2}V(t,x)}{\partial x^{2}}}+e^{-\rho t}u(c_{t})\right\}=0} V ( T , x ) = u ( x ) {\displaystyle V(T,x)=u(x)} 微分方程式に含まれる最大値問題の解は、価値関数 V ( t , x ) {\displaystyle V(t,x)} が x {\displaystyle x} について単調増加な凹関数であるとすると、それぞれ c t = e − ρ γ t ( V x ) − 1 / γ , α t = − V x V x x x μ − r σ 2 {\displaystyle c_{t}=e^{-{\frac {\rho }{\gamma }}t}(V_{x})^{-1/\gamma },\quad \alpha _{t}=-{\frac {V_{x}}{V_{xx}x}}{\frac {\mu -r}{\sigma ^{2}}}} となる。ただし、 V x = ∂ V ( t , x ) ∂ x , V x x = ∂ 2 V ( t , x ) ∂ x 2 {\displaystyle V_{x}={\frac {\partial V(t,x)}{\partial x}},\quad V_{xx}={\frac {\partial ^{2}V(t,x)}{\partial x^{2}}}} である。ここで γ ≠ 1 {\displaystyle \gamma \neq 1} であり、価値関数が微分可能な関数 ϕ ( t ) {\displaystyle \phi (t)} を用いて V ( t , x ) = ϕ ( t ) u ( x ) {\displaystyle V(t,x)=\phi (t)u(x)} と表されるとすると、最大値問題の解は c t = e − ρ γ t ( ϕ ( t ) ) − 1 / γ x , α t = μ − r σ 2 γ {\displaystyle c_{t}=e^{-{\frac {\rho }{\gamma }}t}(\phi (t))^{-1/\gamma }x,\quad \alpha _{t}={\frac {\mu -r}{\sigma ^{2}\gamma }}} となる。これらの解と価値関数をハミルトン＝ヤコビ＝ベルマン方程式に代入して整理すると次の ϕ {\displaystyle \phi } についての常微分方程式が得られる。 ϕ ′ ( t ) + ν ( 1 − γ ) ϕ ( t ) + γ e − ρ γ t ( ϕ ( t ) ) 1 − 1 / γ = 0 {\displaystyle \phi ^{\prime }(t)+\nu (1-\gamma )\phi (t)+\gamma e^{-{\frac {\rho }{\gamma }}t}(\phi (t))^{1-1/\gamma }=0} ϕ ( T ) = 1 {\displaystyle \phi (T)=1} ただし ν = ( μ − r ) 2 2 σ 2 γ + r {\displaystyle \nu ={\frac {(\mu -r)^{2}}{2\sigma ^{2}\gamma }}+r} である。この常微分方程式の境界値問題の解は ϕ ( t ) = e − ρ t ( e ρ γ t + ν ( 1 − γ ) γ ( T − t ) + γ ( 1 − e − ρ − ν ( 1 − γ ) γ ( T − t ) ) ρ − ν ( 1 − γ ) ) γ {\displaystyle \phi (t)=e^{-\rho t}\left(e^{{\frac {\rho }{\gamma }}t+{\frac {\nu (1-\gamma )}{\gamma }}(T-t)}+{\frac {\gamma (1-e^{-{\frac {\rho -\nu (1-\gamma )}{\gamma }}(T-t)})}{\rho -\nu (1-\gamma )}}\right)^{\gamma }} である。よって最適な消費額は c t = ( e ρ γ t + ν ( 1 − γ ) γ ( T − t ) + γ ( 1 − e − ρ − ν ( 1 − γ ) γ ( T − t ) ) ρ − ν ( 1 − γ ) ) − 1 x {\displaystyle c_{t}=\left(e^{{\frac {\rho }{\gamma }}t+{\frac {\nu (1-\gamma )}{\gamma }}(T-t)}+{\frac {\gamma (1-e^{-{\frac {\rho -\nu (1-\gamma )}{\gamma }}(T-t)})}{\rho -\nu (1-\gamma )}}\right)^{-1}x} となり最適な投資比率は α t = μ − r σ 2 γ {\displaystyle \alpha _{t}={\frac {\mu -r}{\sigma ^{2}\gamma }}} である。 この項では有限期間の問題を考えたが、無限期間の問題や、より一般的な効用関数の場合の問題についてもマートンは考察している。
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